mulsuniflem

Description: Lemma for mulsunif . State the theorem with some extra distinct variable conditions. (Contributed by Scott Fenton, 8-Mar-2025)

	Ref	Expression
Hypotheses	mulsuniflem.1	⊢ ( 𝜑 → 𝐿 <<s 𝑅 )
	mulsuniflem.2	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 <<s 𝑆 )
	mulsuniflem.3	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 = ( 𝐿 \|s 𝑅 ) )
	mulsuniflem.4	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 = ( 𝑀 \|s 𝑆 ) )
Assertion	mulsuniflem	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ·_s 𝐵 ) = ( ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) \|s ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulsuniflem.1	⊢ ( 𝜑 → 𝐿 <<s 𝑅 )
2		mulsuniflem.2	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 <<s 𝑆 )
3		mulsuniflem.3	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 = ( 𝐿 \|s 𝑅 ) )
4		mulsuniflem.4	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 = ( 𝑀 \|s 𝑆 ) )
5	1	cutscld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐿 \|s 𝑅 ) ∈ No )
6	3 5	eqeltrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ No )
7	2	cutscld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 \|s 𝑆 ) ∈ No )
8	4 7	eqeltrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ No )
9		mulsval	⊢ ( ( 𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ( 𝐴 ·_s 𝐵 ) = ( ( { 𝑒 ∣ ∃ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑒 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) } ∪ { ℎ ∣ ∃ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ℎ = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) } ) \|s ( { 𝑘 ∣ ∃ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑘 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) } ∪ { 𝑛 ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑛 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) } ) ) )
10	6 8 9	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ·_s 𝐵 ) = ( ( { 𝑒 ∣ ∃ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑒 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) } ∪ { ℎ ∣ ∃ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ℎ = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) } ) \|s ( { 𝑘 ∣ ∃ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑘 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) } ∪ { 𝑛 ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑛 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) } ) ) )
11	6 8	mulcut2	⊢ ( 𝜑 → ( { 𝑒 ∣ ∃ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑒 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) } ∪ { ℎ ∣ ∃ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ℎ = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) } ) <<s ( { 𝑘 ∣ ∃ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑘 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) } ∪ { 𝑛 ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑛 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) } ) )
12	1 3	cofcutr1d	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 𝑓 ≤s 𝑝 )
13	2 4	cofcutr1d	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑔 ≤s 𝑞 )
14	13	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 𝑓 ≤s 𝑝 ) ) → ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑔 ≤s 𝑞 )
15		reeanv	⊢ ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ↔ ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑔 ≤s 𝑞 ) )
16		simprl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) )
17	16	leftnod	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑓 ∈ No )
18	17	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → 𝑓 ∈ No )
19	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → 𝐵 ∈ No )
20	18 19	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) ∈ No )
21	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → 𝐴 ∈ No )
22		simprr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) )
23	22	leftnod	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑔 ∈ No )
24	23	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → 𝑔 ∈ No )
25	21 24	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ∈ No )
26	20 25	addscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) ∈ No )
27	18 24	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ∈ No )
28	26 27	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ∈ No )
29	28	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ∈ No )
30		sltsss1	⊢ ( 𝐿 <<s 𝑅 → 𝐿 ⊆ No )
31	1 30	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝐿 ⊆ No )
32	31	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) → 𝐿 ⊆ No )
33		simprl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) → 𝑝 ∈ 𝐿 )
34	32 33	sseldd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) → 𝑝 ∈ No )
35	34	adantrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → 𝑝 ∈ No )
36	35 19	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) ∈ No )
37	36 25	addscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) ∈ No )
38	35 24	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ∈ No )
39	37 38	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) ∈ No )
40	39	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) ∈ No )
41		sltsss1	⊢ ( 𝑀 <<s 𝑆 → 𝑀 ⊆ No )
42	2 41	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ⊆ No )
43	42	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) → 𝑀 ⊆ No )
44		simprr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) → 𝑞 ∈ 𝑀 )
45	43 44	sseldd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) → 𝑞 ∈ No )
46	45	adantrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → 𝑞 ∈ No )
47	21 46	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ∈ No )
48	36 47	addscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) ∈ No )
49	35 46	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ∈ No )
50	48 49	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ∈ No )
51	50	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ∈ No )
52	17	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → 𝑓 ∈ No )
53	35	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → 𝑝 ∈ No )
54	23	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → 𝑔 ∈ No )
55	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → 𝐵 ∈ No )
56		simprrl	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) → 𝑓 ≤s 𝑝 )
57	56	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → 𝑓 ≤s 𝑝 )
58	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝐵 ∈ No )
59		sltsleft	⊢ ( 𝐵 ∈ No → ( L ‘ 𝐵 ) <<s { 𝐵 } )
60	8 59	syl	⊢ ( 𝜑 → ( L ‘ 𝐵 ) <<s { 𝐵 } )
61	60	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → ( L ‘ 𝐵 ) <<s { 𝐵 } )
62		snidg	⊢ ( 𝐵 ∈ No → 𝐵 ∈ { 𝐵 } )
63	8 62	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ { 𝐵 } )
64	63	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝐵 ∈ { 𝐵 } )
65	61 22 64	sltssepcd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑔 <s 𝐵 )
66	23 58 65	ltlesd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑔 ≤s 𝐵 )
67	66	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → 𝑔 ≤s 𝐵 )
68	52 53 54 55 57 67	lemulsd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) )
69	20 27	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ∈ No )
70	36 38	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) ∈ No )
71	69 70 25	leadds1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) ↔ ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) ) )
72	71	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) ↔ ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) ) )
73	68 72	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) )
74	20 25 27	addsubsd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) )
75	74	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) )
76	36 25 38	addsubsd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) )
77	76	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) )
78	73 75 77	3brtr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) )
79	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → 𝐴 ∈ No )
80	46	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → 𝑞 ∈ No )
81	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) → 𝐴 ∈ No )
82		cutcuts	⊢ ( 𝐿 <<s 𝑅 → ( ( 𝐿 \|s 𝑅 ) ∈ No ∧ 𝐿 <<s { ( 𝐿 \|s 𝑅 ) } ∧ { ( 𝐿 \|s 𝑅 ) } <<s 𝑅 ) )
83	1 82	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐿 \|s 𝑅 ) ∈ No ∧ 𝐿 <<s { ( 𝐿 \|s 𝑅 ) } ∧ { ( 𝐿 \|s 𝑅 ) } <<s 𝑅 ) )
84	83	simp2d	⊢ ( 𝜑 → 𝐿 <<s { ( 𝐿 \|s 𝑅 ) } )
85	84	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) → 𝐿 <<s { ( 𝐿 \|s 𝑅 ) } )
86		ovex	⊢ ( 𝐿 \|s 𝑅 ) ∈ V
87	86	snid	⊢ ( 𝐿 \|s 𝑅 ) ∈ { ( 𝐿 \|s 𝑅 ) }
88	3 87	eqeltrdi	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ { ( 𝐿 \|s 𝑅 ) } )
89	88	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) → 𝐴 ∈ { ( 𝐿 \|s 𝑅 ) } )
90	85 33 89	sltssepcd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) → 𝑝 <s 𝐴 )
91	34 81 90	ltlesd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) → 𝑝 ≤s 𝐴 )
92	91	adantrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → 𝑝 ≤s 𝐴 )
93	92	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → 𝑝 ≤s 𝐴 )
94		simprrr	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) → 𝑔 ≤s 𝑞 )
95	94	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → 𝑔 ≤s 𝑞 )
96	53 79 54 80 93 95	lemulsd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → ( ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) -_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) )
97	49 47 38 25	lesubsubs3bd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) -_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) ↔ ( ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) )
98	25 38	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) ∈ No )
99	47 49	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ∈ No )
100	98 99 36	leadds2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ↔ ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) ) ≤s ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) ) )
101	97 100	bitrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) -_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) ↔ ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) ) ≤s ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) ) )
102	101	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) -_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) ↔ ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) ) ≤s ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) ) )
103	96 102	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) ) ≤s ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) )
104	36 25 38	addsubsassd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) = ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) ) )
105	104	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) = ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) ) )
106	36 47 49	addsubsassd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) = ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) )
107	106	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) = ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) )
108	103 105 107	3brtr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) )
109	29 40 51 78 108	lestrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) )
110	109	anassrs	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) )
111	110	expr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) → ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) )
112	111	reximdvva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) )
113	112	expcom	⊢ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) → ( 𝜑 → ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) ) )
114	113	com23	⊢ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) → ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) → ( 𝜑 → ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) ) )
115	114	imp	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) → ( 𝜑 → ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) )
116	15 115	sylan2br	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) → ( 𝜑 → ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) )
117	116	an4s	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 𝑓 ≤s 𝑝 ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) → ( 𝜑 → ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) )
118	117	impcom	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 𝑓 ≤s 𝑝 ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) )
119	118	anassrs	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 𝑓 ≤s 𝑝 ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) )
120	119	expr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 𝑓 ≤s 𝑝 ) ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) → ( ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑔 ≤s 𝑞 → ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) )
121	120	ralimdva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 𝑓 ≤s 𝑝 ) ) → ( ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑔 ≤s 𝑞 → ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) )
122	14 121	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 𝑓 ≤s 𝑝 ) ) → ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) )
123	122	expr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ) → ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 𝑓 ≤s 𝑝 → ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) )
124	123	ralimdva	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 𝑓 ≤s 𝑝 → ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) )
125	12 124	mpd	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) )
126		eqeq1	⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ↔ 𝑧 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) )
127	126	2rexbidv	⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ↔ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑧 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) )
128	127	rexab	⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ↔ ∃ 𝑧 ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑧 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ) )
129		r19.41vv	⊢ ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ) ↔ ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑧 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ) )
130	129	exbii	⊢ ( ∃ 𝑧 ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑧 ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑧 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ) )
131		rexcom4	⊢ ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑧 ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ) )
132		rexcom4	⊢ ( ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ∃ 𝑧 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ) )
133		ovex	⊢ ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ∈ V
134		breq2	⊢ ( 𝑧 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) → ( ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ↔ ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) )
135	133 134	ceqsexv	⊢ ( ∃ 𝑧 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ) ↔ ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) )
136	135	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ∃ 𝑧 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) )
137	132 136	bitr3i	⊢ ( ∃ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) )
138	137	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) )
139	131 138	bitr3i	⊢ ( ∃ 𝑧 ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) )
140	128 130 139	3bitr2i	⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ↔ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) )
141		ssun1	⊢ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ⊆ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } )
142		ssrexv	⊢ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ⊆ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) → ( ∃ 𝑧 ∈ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ) )
143	141 142	ax-mp	⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 )
144	140 143	sylbir	⊢ ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 )
145	144	2ralimi	⊢ ( ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) → ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 )
146	125 145	syl	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 )
147	1 3	cofcutr2d	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 𝑟 ≤s 𝑖 )
148	2 4	cofcutr2d	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑠 ≤s 𝑗 )
149	148	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 𝑟 ≤s 𝑖 ) ) → ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑠 ≤s 𝑗 )
150		reeanv	⊢ ( ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ↔ ( ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑠 ≤s 𝑗 ) )
151		simprl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) )
152	151	rightnod	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑖 ∈ No )
153	152	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → 𝑖 ∈ No )
154	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → 𝐵 ∈ No )
155	153 154	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) ∈ No )
156	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → 𝐴 ∈ No )
157		simprr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) )
158	157	rightnod	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑗 ∈ No )
159	158	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → 𝑗 ∈ No )
160	156 159	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ∈ No )
161	155 160	addscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) ∈ No )
162	153 159	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ∈ No )
163	161 162	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ∈ No )
164	163	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ∈ No )
165		sltsss2	⊢ ( 𝐿 <<s 𝑅 → 𝑅 ⊆ No )
166	1 165	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ⊆ No )
167	166	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) → 𝑅 ⊆ No )
168		simprl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) → 𝑟 ∈ 𝑅 )
169	167 168	sseldd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) → 𝑟 ∈ No )
170	169	adantrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → 𝑟 ∈ No )
171	170 154	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) ∈ No )
172	171 160	addscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) ∈ No )
173	170 159	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ∈ No )
174	172 173	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) ∈ No )
175	174	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) ∈ No )
176		sltsss2	⊢ ( 𝑀 <<s 𝑆 → 𝑆 ⊆ No )
177	2 176	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ⊆ No )
178	177	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) → 𝑆 ⊆ No )
179		simprr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) → 𝑠 ∈ 𝑆 )
180	178 179	sseldd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) → 𝑠 ∈ No )
181	180	adantrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → 𝑠 ∈ No )
182	156 181	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ∈ No )
183	171 182	addscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) ∈ No )
184	169 180	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) → ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ∈ No )
185	184	adantrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ∈ No )
186	183 185	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ∈ No )
187	186	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ∈ No )
188	170	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → 𝑟 ∈ No )
189	152	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → 𝑖 ∈ No )
190	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → 𝐵 ∈ No )
191	158	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → 𝑗 ∈ No )
192		simprrl	⊢ ( ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) → 𝑟 ≤s 𝑖 )
193	192	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → 𝑟 ≤s 𝑖 )
194	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝐵 ∈ No )
195		sltsright	⊢ ( 𝐵 ∈ No → { 𝐵 } <<s ( R ‘ 𝐵 ) )
196	8 195	syl	⊢ ( 𝜑 → { 𝐵 } <<s ( R ‘ 𝐵 ) )
197	196	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → { 𝐵 } <<s ( R ‘ 𝐵 ) )
198	63	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝐵 ∈ { 𝐵 } )
199	197 198 157	sltssepcd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝐵 <s 𝑗 )
200	194 158 199	ltlesd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝐵 ≤s 𝑗 )
201	200	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → 𝐵 ≤s 𝑗 )
202	188 189 190 191 193 201	lemulsd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → ( ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) ) ≤s ( ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) ) )
203	173 171 162 155	lesubsubs2bd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) ) ≤s ( ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) ) ↔ ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) ) )
204	155 162	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ∈ No )
205	171 173	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) ∈ No )
206	204 205 160	leadds1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) ↔ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) ) )
207	203 206	bitrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) ) ≤s ( ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) ) ↔ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) ) )
208	207	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) ) ≤s ( ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) ) ↔ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) ) )
209	202 208	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) )
210	155 160 162	addsubsd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) )
211	210	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) )
212	171 160 173	addsubsd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) )
213	212	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) )
214	209 211 213	3brtr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) )
215	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → 𝐴 ∈ No )
216	181	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → 𝑠 ∈ No )
217	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) → 𝐴 ∈ No )
218	83	simp3d	⊢ ( 𝜑 → { ( 𝐿 \|s 𝑅 ) } <<s 𝑅 )
219	218	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) → { ( 𝐿 \|s 𝑅 ) } <<s 𝑅 )
220	88	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) → 𝐴 ∈ { ( 𝐿 \|s 𝑅 ) } )
221	219 220 168	sltssepcd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) → 𝐴 <s 𝑟 )
222	217 169 221	ltlesd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) → 𝐴 ≤s 𝑟 )
223	222	adantrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → 𝐴 ≤s 𝑟 )
224	223	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → 𝐴 ≤s 𝑟 )
225		simprrr	⊢ ( ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) → 𝑠 ≤s 𝑗 )
226	225	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → 𝑠 ≤s 𝑗 )
227	215 188 216 191 224 226	lemulsd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → ( ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) ≤s ( ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) )
228	160 173 182 185	lesubsubsbd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) ≤s ( ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ↔ ( ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) )
229	160 173	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) ∈ No )
230	182 185	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ∈ No )
231	229 230 171	leadds2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ↔ ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) ) ≤s ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) ) )
232	228 231	bitrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) ≤s ( ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ↔ ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) ) ≤s ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) ) )
233	232	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) ≤s ( ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ↔ ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) ) ≤s ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) ) )
234	227 233	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) ) ≤s ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) )
235	171 160 173	addsubsassd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) = ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) ) )
236	235	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) = ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) ) )
237	171 182 185	addsubsassd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) = ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) )
238	237	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) = ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) )
239	234 236 238	3brtr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) )
240	164 175 187 214 239	lestrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) )
241	240	anassrs	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) → ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) )
242	241	expr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) → ( ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) → ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) )
243	242	reximdvva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → ( ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) → ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) )
244	243	expcom	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) → ( 𝜑 → ( ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) → ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) ) )
245	244	com23	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) → ( ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) → ( 𝜑 → ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) ) )
246	245	imp	⊢ ( ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) → ( 𝜑 → ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) )
247	150 246	sylan2br	⊢ ( ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) → ( 𝜑 → ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) )
248	247	an4s	⊢ ( ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 𝑟 ≤s 𝑖 ) ∧ ( 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) → ( 𝜑 → ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) )
249	248	impcom	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 𝑟 ≤s 𝑖 ) ∧ ( 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) → ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) )
250	249	anassrs	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 𝑟 ≤s 𝑖 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) )
251	250	expr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 𝑟 ≤s 𝑖 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) → ( ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑠 ≤s 𝑗 → ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) )
252	251	ralimdva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 𝑟 ≤s 𝑖 ) ) → ( ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑠 ≤s 𝑗 → ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) )
253	149 252	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 𝑟 ≤s 𝑖 ) ) → ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) )
254	253	expr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ) → ( ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 𝑟 ≤s 𝑖 → ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) )
255	254	ralimdva	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 𝑟 ≤s 𝑖 → ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) )
256	147 255	mpd	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) )
257		eqeq1	⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ↔ 𝑧 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) )
258	257	2rexbidv	⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ↔ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑧 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) )
259	258	rexab	⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ↔ ∃ 𝑧 ( ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑧 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ) )
260		r19.41vv	⊢ ( ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ) ↔ ( ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑧 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ) )
261	260	exbii	⊢ ( ∃ 𝑧 ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑧 ( ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑧 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ) )
262		rexcom4	⊢ ( ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑧 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑧 ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ) )
263		rexcom4	⊢ ( ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ∃ 𝑧 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑧 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ) )
264		ovex	⊢ ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ∈ V
265		breq2	⊢ ( 𝑧 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) → ( ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ↔ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) )
266	264 265	ceqsexv	⊢ ( ∃ 𝑧 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ) ↔ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) )
267	266	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ∃ 𝑧 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) )
268	263 267	bitr3i	⊢ ( ∃ 𝑧 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) )
269	268	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑧 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) )
270	262 269	bitr3i	⊢ ( ∃ 𝑧 ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) )
271	259 261 270	3bitr2i	⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ↔ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) )
272		ssun2	⊢ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ⊆ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } )
273		ssrexv	⊢ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ⊆ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) → ( ∃ 𝑧 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ) )
274	272 273	ax-mp	⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 )
275	271 274	sylbir	⊢ ( ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 )
276	275	2ralimi	⊢ ( ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 )
277	256 276	syl	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 )
278		ralunb	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∈ ( { 𝑒 ∣ ∃ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑒 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) } ∪ { ℎ ∣ ∃ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ℎ = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) } ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ↔ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∈ { 𝑒 ∣ ∃ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑒 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) } ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ∧ ∀ 𝑥_𝑂 ∈ { ℎ ∣ ∃ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ℎ = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) } ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) )
279		eqeq1	⊢ ( 𝑒 = 𝑥_𝑂 → ( 𝑒 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ↔ 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ) )
280	279	2rexbidv	⊢ ( 𝑒 = 𝑥_𝑂 → ( ∃ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑒 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ) )
281	280	ralab	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∈ { 𝑒 ∣ ∃ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑒 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) } ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ↔ ∀ 𝑥_𝑂 ( ∃ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) )
282		r19.23v	⊢ ( ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ( ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) )
283	282	ralbii	⊢ ( ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ( ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) )
284		r19.23v	⊢ ( ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ( ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ( ∃ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) )
285	283 284	bitri	⊢ ( ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ( ∃ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) )
286	285	albii	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ∀ 𝑥_𝑂 ( ∃ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) )
287		ralcom4	⊢ ( ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) )
288		ralcom4	⊢ ( ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∀ 𝑥_𝑂 ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) )
289		ovex	⊢ ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ∈ V
290		breq1	⊢ ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ( 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ↔ ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ) )
291	290	rexbidv	⊢ ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ( ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ↔ ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ) )
292	289 291	ceqsalv	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 )
293	292	ralbii	⊢ ( ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∀ 𝑥_𝑂 ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 )
294	288 293	bitr3i	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 )
295	294	ralbii	⊢ ( ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 )
296	287 295	bitr3i	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 )
297	281 286 296	3bitr2i	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∈ { 𝑒 ∣ ∃ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑒 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) } ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ↔ ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 )
298		eqeq1	⊢ ( ℎ = 𝑥_𝑂 → ( ℎ = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ↔ 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ) )
299	298	2rexbidv	⊢ ( ℎ = 𝑥_𝑂 → ( ∃ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ℎ = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ) )
300	299	ralab	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∈ { ℎ ∣ ∃ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ℎ = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) } ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ↔ ∀ 𝑥_𝑂 ( ∃ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) )
301		r19.23v	⊢ ( ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ( ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) )
302	301	ralbii	⊢ ( ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ( ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) )
303		r19.23v	⊢ ( ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ( ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ( ∃ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) )
304	302 303	bitri	⊢ ( ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ( ∃ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) )
305	304	albii	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ∀ 𝑥_𝑂 ( ∃ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) )
306		ralcom4	⊢ ( ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) )
307		ralcom4	⊢ ( ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∀ 𝑥_𝑂 ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) )
308		ovex	⊢ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ∈ V
309		breq1	⊢ ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ( 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ↔ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ) )
310	309	rexbidv	⊢ ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ( ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ↔ ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ) )
311	308 310	ceqsalv	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 )
312	311	ralbii	⊢ ( ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∀ 𝑥_𝑂 ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 )
313	307 312	bitr3i	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 )
314	313	ralbii	⊢ ( ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 )
315	306 314	bitr3i	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 )
316	300 305 315	3bitr2i	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∈ { ℎ ∣ ∃ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ℎ = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) } ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 )
317	297 316	anbi12i	⊢ ( ( ∀ 𝑥_𝑂 ∈ { 𝑒 ∣ ∃ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑒 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) } ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ∧ ∀ 𝑥_𝑂 ∈ { ℎ ∣ ∃ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ℎ = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) } ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ( ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ) )
318	278 317	bitri	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∈ ( { 𝑒 ∣ ∃ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑒 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) } ∪ { ℎ ∣ ∃ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ℎ = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) } ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ↔ ( ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ) )
319	146 277 318	sylanbrc	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥_𝑂 ∈ ( { 𝑒 ∣ ∃ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑒 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) } ∪ { ℎ ∣ ∃ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ℎ = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) } ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 )
320	1 3	cofcutr1d	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 𝑙 ≤s 𝑡 )
321	2 4	cofcutr2d	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑢 ≤s 𝑚 )
322	321	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 𝑙 ≤s 𝑡 ) ) → ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑢 ≤s 𝑚 )
323		reeanv	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ↔ ( ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑢 ≤s 𝑚 ) )
324	31	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) → 𝐿 ⊆ No )
325		simprl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) → 𝑡 ∈ 𝐿 )
326	324 325	sseldd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) → 𝑡 ∈ No )
327	326	adantrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → 𝑡 ∈ No )
328	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → 𝐵 ∈ No )
329	327 328	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) ∈ No )
330	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → 𝐴 ∈ No )
331	177	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) → 𝑆 ⊆ No )
332		simprr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) → 𝑢 ∈ 𝑆 )
333	331 332	sseldd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) → 𝑢 ∈ No )
334	333	adantrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → 𝑢 ∈ No )
335	330 334	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ∈ No )
336	329 335	addscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) ∈ No )
337	327 334	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ∈ No )
338	336 337	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ∈ No )
339	338	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ∈ No )
340		simprl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) )
341	340	leftnod	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑙 ∈ No )
342	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝐵 ∈ No )
343	341 342	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) ∈ No )
344	343	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) ∈ No )
345	344 335	addscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) ∈ No )
346	341	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → 𝑙 ∈ No )
347	346 334	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ∈ No )
348	345 347	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) ∈ No )
349	348	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) ∈ No )
350	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝐴 ∈ No )
351		simprr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) )
352	351	rightnod	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑚 ∈ No )
353	350 352	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ∈ No )
354	353	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ∈ No )
355	344 354	addscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) ∈ No )
356	341 352	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ∈ No )
357	356	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ∈ No )
358	355 357	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ∈ No )
359	358	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ∈ No )
360	341	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → 𝑙 ∈ No )
361	327	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → 𝑡 ∈ No )
362	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → 𝐵 ∈ No )
363	334	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → 𝑢 ∈ No )
364		simprrl	⊢ ( ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) → 𝑙 ≤s 𝑡 )
365	364	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → 𝑙 ≤s 𝑡 )
366	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) → 𝐵 ∈ No )
367		cutcuts	⊢ ( 𝑀 <<s 𝑆 → ( ( 𝑀 \|s 𝑆 ) ∈ No ∧ 𝑀 <<s { ( 𝑀 \|s 𝑆 ) } ∧ { ( 𝑀 \|s 𝑆 ) } <<s 𝑆 ) )
368	2 367	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑀 \|s 𝑆 ) ∈ No ∧ 𝑀 <<s { ( 𝑀 \|s 𝑆 ) } ∧ { ( 𝑀 \|s 𝑆 ) } <<s 𝑆 ) )
369	368	simp3d	⊢ ( 𝜑 → { ( 𝑀 \|s 𝑆 ) } <<s 𝑆 )
370	369	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) → { ( 𝑀 \|s 𝑆 ) } <<s 𝑆 )
371		ovex	⊢ ( 𝑀 \|s 𝑆 ) ∈ V
372	371	snid	⊢ ( 𝑀 \|s 𝑆 ) ∈ { ( 𝑀 \|s 𝑆 ) }
373	4 372	eqeltrdi	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ { ( 𝑀 \|s 𝑆 ) } )
374	373	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) → 𝐵 ∈ { ( 𝑀 \|s 𝑆 ) } )
375	370 374 332	sltssepcd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) → 𝐵 <s 𝑢 )
376	366 333 375	ltlesd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) → 𝐵 ≤s 𝑢 )
377	376	adantrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → 𝐵 ≤s 𝑢 )
378	377	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → 𝐵 ≤s 𝑢 )
379	360 361 362 363 365 378	lemulsd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → ( ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) ) ≤s ( ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) ) )
380	347 344 337 329	lesubsubs2bd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) ) ≤s ( ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) ) ↔ ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) ) )
381	329 337	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ∈ No )
382	344 347	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) ∈ No )
383	381 382 335	leadds1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) ↔ ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) ) )
384	380 383	bitrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) ) ≤s ( ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) ) ↔ ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) ) )
385	384	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) ) ≤s ( ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) ) ↔ ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) ) )
386	379 385	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) )
387	329 335 337	addsubsd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) )
388	387	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) )
389	344 335 347	addsubsd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) )
390	389	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) )
391	386 388 390	3brtr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) )
392	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → 𝐴 ∈ No )
393	352	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → 𝑚 ∈ No )
394		sltsleft	⊢ ( 𝐴 ∈ No → ( L ‘ 𝐴 ) <<s { 𝐴 } )
395	6 394	syl	⊢ ( 𝜑 → ( L ‘ 𝐴 ) <<s { 𝐴 } )
396	395	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → ( L ‘ 𝐴 ) <<s { 𝐴 } )
397		snidg	⊢ ( 𝐴 ∈ No → 𝐴 ∈ { 𝐴 } )
398	6 397	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ { 𝐴 } )
399	398	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝐴 ∈ { 𝐴 } )
400	396 340 399	sltssepcd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑙 <s 𝐴 )
401	341 350 400	ltlesd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑙 ≤s 𝐴 )
402	401	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → 𝑙 ≤s 𝐴 )
403		simprrr	⊢ ( ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) → 𝑢 ≤s 𝑚 )
404	403	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → 𝑢 ≤s 𝑚 )
405	360 392 363 393 402 404	lemulsd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → ( ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) -_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) )
406	357 354 347 335	lesubsubs3bd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) -_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) ↔ ( ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
407	335 347	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) ∈ No )
408	354 357	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ∈ No )
409	407 408 344	leadds2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ↔ ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) ) ≤s ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) ) )
410	406 409	bitrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) -_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) ↔ ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) ) ≤s ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) ) )
411	410	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) -_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) ↔ ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) ) ≤s ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) ) )
412	405 411	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) ) ≤s ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
413	344 335 347	addsubsassd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) = ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) ) )
414	413	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) = ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) ) )
415	344 354 357	addsubsassd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) = ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
416	415	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) = ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
417	412 414 416	3brtr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
418	339 349 359 391 417	lestrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
419	418	anassrs	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) → ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
420	419	expr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) → ( ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) → ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
421	420	reximdvva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → ( ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) → ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
422	421	expcom	⊢ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) → ( 𝜑 → ( ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) → ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) ) )
423	422	com23	⊢ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) → ( ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) → ( 𝜑 → ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) ) )
424	423	imp	⊢ ( ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) → ( 𝜑 → ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
425	323 424	sylan2br	⊢ ( ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) → ( 𝜑 → ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
426	425	an4s	⊢ ( ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 𝑙 ≤s 𝑡 ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) → ( 𝜑 → ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
427	426	impcom	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 𝑙 ≤s 𝑡 ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) → ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
428	427	anassrs	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 𝑙 ≤s 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
429	428	expr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 𝑙 ≤s 𝑡 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) → ( ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑢 ≤s 𝑚 → ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
430	429	ralimdva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 𝑙 ≤s 𝑡 ) ) → ( ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑢 ≤s 𝑚 → ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
431	322 430	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 𝑙 ≤s 𝑡 ) ) → ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
432	431	expr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ) → ( ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 𝑙 ≤s 𝑡 → ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
433	432	ralimdva	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 𝑙 ≤s 𝑡 → ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
434	320 433	mpd	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
435		eqeq1	⊢ ( 𝑐 = 𝑧 → ( 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ↔ 𝑧 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ) )
436	435	2rexbidv	⊢ ( 𝑐 = 𝑧 → ( ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑧 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ) )
437	436	rexab	⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ↔ ∃ 𝑧 ( ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑧 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
438		r19.41vv	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑧 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
439	438	exbii	⊢ ( ∃ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧 ( ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑧 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
440		rexcom4	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑧 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
441		rexcom4	⊢ ( ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ∃ 𝑧 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
442		ovex	⊢ ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ∈ V
443		breq1	⊢ ( 𝑧 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) → ( 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ↔ ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
444	442 443	ceqsexv	⊢ ( ∃ 𝑧 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
445	444	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ∃ 𝑧 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) ↔ ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
446	441 445	bitr3i	⊢ ( ∃ 𝑧 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) ↔ ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
447	446	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑧 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
448	440 447	bitr3i	⊢ ( ∃ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
449	437 439 448	3bitr2i	⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
450		ssun1	⊢ { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ⊆ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } )
451		ssrexv	⊢ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ⊆ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) → ( ∃ 𝑧 ∈ { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
452	450 451	ax-mp	⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
453	449 452	sylbir	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
454	453	2ralimi	⊢ ( ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
455	434 454	syl	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
456	1 3	cofcutr2d	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 𝑣 ≤s 𝑥 )
457	2 4	cofcutr1d	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑦 ≤s 𝑤 )
458	457	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 𝑣 ≤s 𝑥 ) ) → ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑦 ≤s 𝑤 )
459		reeanv	⊢ ( ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ↔ ( ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑦 ≤s 𝑤 ) )
460	166	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) → 𝑅 ⊆ No )
461		simprl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) → 𝑣 ∈ 𝑅 )
462	460 461	sseldd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) → 𝑣 ∈ No )
463	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) → 𝐵 ∈ No )
464	462 463	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) → ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) ∈ No )
465	464	adantrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) ∈ No )
466	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) → 𝐴 ∈ No )
467	42	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) → 𝑀 ⊆ No )
468		simprr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) → 𝑤 ∈ 𝑀 )
469	467 468	sseldd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) → 𝑤 ∈ No )
470	466 469	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) → ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ∈ No )
471	470	adantrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ∈ No )
472	465 471	addscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) ∈ No )
473	462 469	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) → ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ∈ No )
474	473	adantrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ∈ No )
475	472 474	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ∈ No )
476	475	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ∈ No )
477	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → 𝐴 ∈ No )
478		simprr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) )
479	478	leftnod	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑦 ∈ No )
480	479	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → 𝑦 ∈ No )
481	477 480	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ∈ No )
482	465 481	addscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) ∈ No )
483	462	adantrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → 𝑣 ∈ No )
484	483 480	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ∈ No )
485	482 484	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) ∈ No )
486	485	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) ∈ No )
487		simprl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) )
488	487	rightnod	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑥 ∈ No )
489	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝐵 ∈ No )
490	488 489	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) ∈ No )
491	490	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) ∈ No )
492	491 481	addscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) ∈ No )
493	488 479	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ∈ No )
494	493	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ∈ No )
495	492 494	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ∈ No )
496	495	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ∈ No )
497	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → 𝐴 ∈ No )
498	483	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → 𝑣 ∈ No )
499	479	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ No )
500	469	adantrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → 𝑤 ∈ No )
501	500	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → 𝑤 ∈ No )
502	3	sneqd	⊢ ( 𝜑 → { 𝐴 } = { ( 𝐿 \|s 𝑅 ) } )
503	502 218	eqbrtrd	⊢ ( 𝜑 → { 𝐴 } <<s 𝑅 )
504	503	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → { 𝐴 } <<s 𝑅 )
505	477 397	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → 𝐴 ∈ { 𝐴 } )
506		simprrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → 𝑣 ∈ 𝑅 )
507	504 505 506	sltssepcd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → 𝐴 <s 𝑣 )
508	477 483 507	ltlesd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → 𝐴 ≤s 𝑣 )
509	508	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → 𝐴 ≤s 𝑣 )
510		simprrr	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) → 𝑦 ≤s 𝑤 )
511	510	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → 𝑦 ≤s 𝑤 )
512	497 498 499 501 509 511	lemulsd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → ( ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) -_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) ≤s ( ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) )
513	471 474 481 484	lesubsubsbd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) -_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) ≤s ( ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) ↔ ( ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) ) )
514	471 474	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ∈ No )
515	481 484	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) ∈ No )
516	514 515 465	leadds2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) ↔ ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ) ≤s ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) ) ) )
517	513 516	bitrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) -_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) ≤s ( ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) ↔ ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ) ≤s ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) ) ) )
518	517	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) -_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) ≤s ( ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) ↔ ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ) ≤s ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) ) ) )
519	512 518	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ) ≤s ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) ) )
520	465 471 474	addsubsassd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) = ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ) )
521	520	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) = ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ) )
522	465 481 484	addsubsassd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) = ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) ) )
523	522	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) = ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) ) )
524	519 521 523	3brtr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) )
525	488	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ No )
526	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → 𝐵 ∈ No )
527		simprrl	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) → 𝑣 ≤s 𝑥 )
528	527	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → 𝑣 ≤s 𝑥 )
529	489 59	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → ( L ‘ 𝐵 ) <<s { 𝐵 } )
530	63	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝐵 ∈ { 𝐵 } )
531	529 478 530	sltssepcd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑦 <s 𝐵 )
532	479 489 531	ltlesd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑦 ≤s 𝐵 )
533	532	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → 𝑦 ≤s 𝐵 )
534	498 525 499 526 528 533	lemulsd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) ≤s ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
535	465 484	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) ∈ No )
536	535	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) ∈ No )
537	491 494	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ∈ No )
538	537	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ∈ No )
539	481	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ∈ No )
540	536 538 539	leadds1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) ≤s ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ↔ ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) ) )
541	534 540	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) )
542	465 481 484	addsubsd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) )
543	542	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) )
544	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝐴 ∈ No )
545	544 479	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ∈ No )
546	490 545 493	addsubsd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) )
547	546	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) )
548	541 543 547	3brtr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
549	476 486 496 524 548	lestrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
550	549	anassrs	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) → ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
551	550	expr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) → ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
552	551	reximdvva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → ( ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) → ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
553	552	expcom	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) → ( 𝜑 → ( ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) → ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) ) )
554	553	com23	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) → ( ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) → ( 𝜑 → ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) ) )
555	554	imp	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) → ( 𝜑 → ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
556	459 555	sylan2br	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) → ( 𝜑 → ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
557	556	an4s	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 𝑣 ≤s 𝑥 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) → ( 𝜑 → ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
558	557	impcom	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 𝑣 ≤s 𝑥 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) → ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
559	558	anassrs	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 𝑣 ≤s 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) → ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
560	559	expr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 𝑣 ≤s 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) → ( ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑦 ≤s 𝑤 → ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
561	560	ralimdva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 𝑣 ≤s 𝑥 ) ) → ( ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑦 ≤s 𝑤 → ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
562	458 561	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 𝑣 ≤s 𝑥 ) ) → ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
563	562	expr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ) → ( ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 𝑣 ≤s 𝑥 → ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
564	563	ralimdva	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 𝑣 ≤s 𝑥 → ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
565	456 564	mpd	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
566		eqeq1	⊢ ( 𝑑 = 𝑧 → ( 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ↔ 𝑧 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ) )
567	566	2rexbidv	⊢ ( 𝑑 = 𝑧 → ( ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ↔ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑧 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ) )
568	567	rexab	⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ↔ ∃ 𝑧 ( ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑧 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
569		r19.41vv	⊢ ( ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑧 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
570	569	exbii	⊢ ( ∃ 𝑧 ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧 ( ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑧 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
571		rexcom4	⊢ ( ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑧 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧 ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
572		rexcom4	⊢ ( ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ∃ 𝑧 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
573		ovex	⊢ ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ∈ V
574		breq1	⊢ ( 𝑧 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) → ( 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ↔ ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
575	573 574	ceqsexv	⊢ ( ∃ 𝑧 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
576	575	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ∃ 𝑧 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) ↔ ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
577	572 576	bitr3i	⊢ ( ∃ 𝑧 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) ↔ ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
578	577	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑧 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) ↔ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
579	571 578	bitr3i	⊢ ( ∃ 𝑧 ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) ↔ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
580	568 570 579	3bitr2i	⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ↔ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
581		ssun2	⊢ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ⊆ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } )
582		ssrexv	⊢ ( { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ⊆ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) → ( ∃ 𝑧 ∈ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
583	581 582	ax-mp	⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
584	580 583	sylbir	⊢ ( ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
585	584	2ralimi	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
586	565 585	syl	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
587		ralunb	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∈ ( { 𝑘 ∣ ∃ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑘 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) } ∪ { 𝑛 ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑛 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) } ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ↔ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∈ { 𝑘 ∣ ∃ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑘 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) } ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ∧ ∀ 𝑥_𝑂 ∈ { 𝑛 ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑛 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) } ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) )
588		eqeq1	⊢ ( 𝑘 = 𝑥_𝑂 → ( 𝑘 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ↔ 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
589	588	2rexbidv	⊢ ( 𝑘 = 𝑥_𝑂 → ( ∃ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑘 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ↔ ∃ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
590	589	ralab	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∈ { 𝑘 ∣ ∃ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑘 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) } ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ↔ ∀ 𝑥_𝑂 ( ∃ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) )
591		r19.23v	⊢ ( ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ( ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) )
592	591	ralbii	⊢ ( ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ( ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) )
593		r19.23v	⊢ ( ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ( ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ( ∃ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) )
594	592 593	bitri	⊢ ( ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ( ∃ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) )
595	594	albii	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ∀ 𝑥_𝑂 ( ∃ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) )
596		ralcom4	⊢ ( ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) )
597		ralcom4	⊢ ( ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∀ 𝑥_𝑂 ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) )
598		ovex	⊢ ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ∈ V
599		breq2	⊢ ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ( 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ↔ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
600	599	rexbidv	⊢ ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ( ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ↔ ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
601	598 600	ceqsalv	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
602	601	ralbii	⊢ ( ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∀ 𝑥_𝑂 ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
603	597 602	bitr3i	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
604	603	ralbii	⊢ ( ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
605	596 604	bitr3i	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
606	590 595 605	3bitr2i	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∈ { 𝑘 ∣ ∃ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑘 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) } ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ↔ ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
607		eqeq1	⊢ ( 𝑛 = 𝑥_𝑂 → ( 𝑛 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ↔ 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
608	607	2rexbidv	⊢ ( 𝑛 = 𝑥_𝑂 → ( ∃ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑛 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
609	608	ralab	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∈ { 𝑛 ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑛 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) } ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ↔ ∀ 𝑥_𝑂 ( ∃ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) )
610		r19.23v	⊢ ( ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ( ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) )
611	610	ralbii	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ( ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) )
612		r19.23v	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ( ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ( ∃ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) )
613	611 612	bitri	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ( ∃ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) )
614	613	albii	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ∀ 𝑥_𝑂 ( ∃ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) )
615		ralcom4	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) )
616		ralcom4	⊢ ( ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∀ 𝑥_𝑂 ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) )
617		ovex	⊢ ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ∈ V
618		breq2	⊢ ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ( 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ↔ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
619	618	rexbidv	⊢ ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ( ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ↔ ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
620	617 619	ceqsalv	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
621	620	ralbii	⊢ ( ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∀ 𝑥_𝑂 ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
622	616 621	bitr3i	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
623	622	ralbii	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
624	615 623	bitr3i	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
625	609 614 624	3bitr2i	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∈ { 𝑛 ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑛 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) } ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
626	606 625	anbi12i	⊢ ( ( ∀ 𝑥_𝑂 ∈ { 𝑘 ∣ ∃ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑘 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) } ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ∧ ∀ 𝑥_𝑂 ∈ { 𝑛 ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑛 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) } ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ( ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
627	587 626	bitri	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∈ ( { 𝑘 ∣ ∃ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑘 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) } ∪ { 𝑛 ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑛 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) } ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ↔ ( ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
628	455 586 627	sylanbrc	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥_𝑂 ∈ ( { 𝑘 ∣ ∃ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑘 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) } ∪ { 𝑛 ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑛 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) } ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 )
629	1 2 3 4	sltmuls1	⊢ ( 𝜑 → ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) <<s { ( 𝐴 ·_s 𝐵 ) } )
630	10	sneqd	⊢ ( 𝜑 → { ( 𝐴 ·_s 𝐵 ) } = { ( ( { 𝑒 ∣ ∃ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑒 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) } ∪ { ℎ ∣ ∃ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ℎ = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) } ) \|s ( { 𝑘 ∣ ∃ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑘 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) } ∪ { 𝑛 ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑛 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) } ) ) } )
631	629 630	breqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) <<s { ( ( { 𝑒 ∣ ∃ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑒 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) } ∪ { ℎ ∣ ∃ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ℎ = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) } ) \|s ( { 𝑘 ∣ ∃ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑘 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) } ∪ { 𝑛 ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑛 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) } ) ) } )
632	1 2 3 4	sltmuls2	⊢ ( 𝜑 → { ( 𝐴 ·_s 𝐵 ) } <<s ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) )
633	630 632	eqbrtrrd	⊢ ( 𝜑 → { ( ( { 𝑒 ∣ ∃ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑒 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) } ∪ { ℎ ∣ ∃ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ℎ = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) } ) \|s ( { 𝑘 ∣ ∃ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑘 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) } ∪ { 𝑛 ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑛 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) } ) ) } <<s ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) )
634	11 319 628 631 633	cofcut1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( { 𝑒 ∣ ∃ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑒 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) } ∪ { ℎ ∣ ∃ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ℎ = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) } ) \|s ( { 𝑘 ∣ ∃ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑘 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) } ∪ { 𝑛 ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑛 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) } ) ) = ( ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) \|s ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) ) )
635	10 634	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ·_s 𝐵 ) = ( ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) \|s ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) ) )

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Theorem mulsuniflem

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