Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fzfid |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 1 ... 𝑁 ) ∈ Fin ) |
2 |
|
nn0cn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ ) |
3 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
4 |
3
|
sqcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑁 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
5 |
4 3
|
subcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑁 ↑ 2 ) − 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
6 |
|
2cnd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → 2 ∈ ℂ ) |
7 |
|
elfznn |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ℕ ) |
8 |
7
|
nncnd |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ℂ ) |
9 |
8
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → 𝑘 ∈ ℂ ) |
10 |
6 9
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 2 · 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
11 |
|
1cnd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → 1 ∈ ℂ ) |
12 |
10 11
|
subcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ∈ ℂ ) |
13 |
1 5 12
|
fsumadd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝑁 ↑ 2 ) − 𝑁 ) + ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 ↑ 2 ) − 𝑁 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) ) |
14 |
|
id |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
15 |
2
|
sqcld |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
16 |
15 2
|
subcld |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( 𝑁 ↑ 2 ) − 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
17 |
14 16
|
fz1sumconst |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 ↑ 2 ) − 𝑁 ) = ( 𝑁 · ( ( 𝑁 ↑ 2 ) − 𝑁 ) ) ) |
18 |
2 15 2
|
subdid |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 · ( ( 𝑁 ↑ 2 ) − 𝑁 ) ) = ( ( 𝑁 · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) − ( 𝑁 · 𝑁 ) ) ) |
19 |
|
df-3 |
⊢ 3 = ( 2 + 1 ) |
20 |
19
|
oveq2i |
⊢ ( 𝑁 ↑ 3 ) = ( 𝑁 ↑ ( 2 + 1 ) ) |
21 |
|
2nn0 |
⊢ 2 ∈ ℕ0 |
22 |
21
|
a1i |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0 ) |
23 |
2 22
|
expp1d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 ↑ ( 2 + 1 ) ) = ( ( 𝑁 ↑ 2 ) · 𝑁 ) ) |
24 |
20 23
|
eqtrid |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 ↑ 3 ) = ( ( 𝑁 ↑ 2 ) · 𝑁 ) ) |
25 |
15 2
|
mulcomd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( 𝑁 ↑ 2 ) · 𝑁 ) = ( 𝑁 · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ) |
26 |
24 25
|
eqtr2d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) = ( 𝑁 ↑ 3 ) ) |
27 |
2
|
sqvald |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 ↑ 2 ) = ( 𝑁 · 𝑁 ) ) |
28 |
27
|
eqcomd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 · 𝑁 ) = ( 𝑁 ↑ 2 ) ) |
29 |
26 28
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( 𝑁 · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) − ( 𝑁 · 𝑁 ) ) = ( ( 𝑁 ↑ 3 ) − ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ) |
30 |
17 18 29
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 ↑ 2 ) − 𝑁 ) = ( ( 𝑁 ↑ 3 ) − ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ) |
31 |
|
oddnumth |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) = ( 𝑁 ↑ 2 ) ) |
32 |
30 31
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 ↑ 2 ) − 𝑁 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) = ( ( ( 𝑁 ↑ 3 ) − ( 𝑁 ↑ 2 ) ) + ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ) |
33 |
|
3nn0 |
⊢ 3 ∈ ℕ0 |
34 |
33
|
a1i |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℕ0 ) |
35 |
2 34
|
expcld |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 ↑ 3 ) ∈ ℂ ) |
36 |
35 15
|
npcand |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( ( 𝑁 ↑ 3 ) − ( 𝑁 ↑ 2 ) ) + ( 𝑁 ↑ 2 ) ) = ( 𝑁 ↑ 3 ) ) |
37 |
13 32 36
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝑁 ↑ 2 ) − 𝑁 ) + ( ( 2 · 𝑘 ) − 1 ) ) = ( 𝑁 ↑ 3 ) ) |