Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elnn |
โข ( ( ๐ด โ ๐ต โง ๐ต โ ฯ ) โ ๐ด โ ฯ ) |
2 |
1
|
expcom |
โข ( ๐ต โ ฯ โ ( ๐ด โ ๐ต โ ๐ด โ ฯ ) ) |
3 |
|
eleq2 |
โข ( ๐ฅ = ๐ต โ ( ๐ด โ ๐ฅ โ ๐ด โ ๐ต ) ) |
4 |
|
oveq2 |
โข ( ๐ฅ = ๐ต โ ( ๐ถ ยทo ๐ฅ ) = ( ๐ถ ยทo ๐ต ) ) |
5 |
4
|
eleq2d |
โข ( ๐ฅ = ๐ต โ ( ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ฅ ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ต ) ) ) |
6 |
3 5
|
imbi12d |
โข ( ๐ฅ = ๐ต โ ( ( ๐ด โ ๐ฅ โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ฅ ) ) โ ( ๐ด โ ๐ต โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ต ) ) ) ) |
7 |
6
|
imbi2d |
โข ( ๐ฅ = ๐ต โ ( ( ( ( ๐ด โ ฯ โง ๐ถ โ ฯ ) โง โ
โ ๐ถ ) โ ( ๐ด โ ๐ฅ โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ฅ ) ) ) โ ( ( ( ๐ด โ ฯ โง ๐ถ โ ฯ ) โง โ
โ ๐ถ ) โ ( ๐ด โ ๐ต โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ต ) ) ) ) ) |
8 |
|
eleq2 |
โข ( ๐ฅ = โ
โ ( ๐ด โ ๐ฅ โ ๐ด โ โ
) ) |
9 |
|
oveq2 |
โข ( ๐ฅ = โ
โ ( ๐ถ ยทo ๐ฅ ) = ( ๐ถ ยทo โ
) ) |
10 |
9
|
eleq2d |
โข ( ๐ฅ = โ
โ ( ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ฅ ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo โ
) ) ) |
11 |
8 10
|
imbi12d |
โข ( ๐ฅ = โ
โ ( ( ๐ด โ ๐ฅ โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ฅ ) ) โ ( ๐ด โ โ
โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo โ
) ) ) ) |
12 |
|
eleq2 |
โข ( ๐ฅ = ๐ฆ โ ( ๐ด โ ๐ฅ โ ๐ด โ ๐ฆ ) ) |
13 |
|
oveq2 |
โข ( ๐ฅ = ๐ฆ โ ( ๐ถ ยทo ๐ฅ ) = ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) ) |
14 |
13
|
eleq2d |
โข ( ๐ฅ = ๐ฆ โ ( ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ฅ ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) ) ) |
15 |
12 14
|
imbi12d |
โข ( ๐ฅ = ๐ฆ โ ( ( ๐ด โ ๐ฅ โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ฅ ) ) โ ( ๐ด โ ๐ฆ โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) ) ) ) |
16 |
|
eleq2 |
โข ( ๐ฅ = suc ๐ฆ โ ( ๐ด โ ๐ฅ โ ๐ด โ suc ๐ฆ ) ) |
17 |
|
oveq2 |
โข ( ๐ฅ = suc ๐ฆ โ ( ๐ถ ยทo ๐ฅ ) = ( ๐ถ ยทo suc ๐ฆ ) ) |
18 |
17
|
eleq2d |
โข ( ๐ฅ = suc ๐ฆ โ ( ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ฅ ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo suc ๐ฆ ) ) ) |
19 |
16 18
|
imbi12d |
โข ( ๐ฅ = suc ๐ฆ โ ( ( ๐ด โ ๐ฅ โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ฅ ) ) โ ( ๐ด โ suc ๐ฆ โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo suc ๐ฆ ) ) ) ) |
20 |
|
noel |
โข ยฌ ๐ด โ โ
|
21 |
20
|
pm2.21i |
โข ( ๐ด โ โ
โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo โ
) ) |
22 |
21
|
a1i |
โข ( ( ( ๐ด โ ฯ โง ๐ถ โ ฯ ) โง โ
โ ๐ถ ) โ ( ๐ด โ โ
โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo โ
) ) ) |
23 |
|
elsuci |
โข ( ๐ด โ suc ๐ฆ โ ( ๐ด โ ๐ฆ โจ ๐ด = ๐ฆ ) ) |
24 |
|
nnmcl |
โข ( ( ๐ถ โ ฯ โง ๐ฆ โ ฯ ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) โ ฯ ) |
25 |
|
simpl |
โข ( ( ๐ถ โ ฯ โง ๐ฆ โ ฯ ) โ ๐ถ โ ฯ ) |
26 |
24 25
|
jca |
โข ( ( ๐ถ โ ฯ โง ๐ฆ โ ฯ ) โ ( ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) โ ฯ โง ๐ถ โ ฯ ) ) |
27 |
|
nnaword1 |
โข ( ( ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) โ ฯ โง ๐ถ โ ฯ ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) โ ( ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) +o ๐ถ ) ) |
28 |
27
|
sseld |
โข ( ( ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) โ ฯ โง ๐ถ โ ฯ ) โ ( ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) +o ๐ถ ) ) ) |
29 |
28
|
imim2d |
โข ( ( ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) โ ฯ โง ๐ถ โ ฯ ) โ ( ( ๐ด โ ๐ฆ โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) ) โ ( ๐ด โ ๐ฆ โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) +o ๐ถ ) ) ) ) |
30 |
29
|
imp |
โข ( ( ( ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) โ ฯ โง ๐ถ โ ฯ ) โง ( ๐ด โ ๐ฆ โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) ) ) โ ( ๐ด โ ๐ฆ โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) +o ๐ถ ) ) ) |
31 |
30
|
adantrl |
โข ( ( ( ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) โ ฯ โง ๐ถ โ ฯ ) โง ( โ
โ ๐ถ โง ( ๐ด โ ๐ฆ โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) ) ) ) โ ( ๐ด โ ๐ฆ โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) +o ๐ถ ) ) ) |
32 |
|
nna0 |
โข ( ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) โ ฯ โ ( ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) +o โ
) = ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) ) |
33 |
32
|
ad2antrr |
โข ( ( ( ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) โ ฯ โง ๐ถ โ ฯ ) โง โ
โ ๐ถ ) โ ( ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) +o โ
) = ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) ) |
34 |
|
nnaordi |
โข ( ( ๐ถ โ ฯ โง ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) โ ฯ ) โ ( โ
โ ๐ถ โ ( ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) +o โ
) โ ( ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) +o ๐ถ ) ) ) |
35 |
34
|
ancoms |
โข ( ( ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) โ ฯ โง ๐ถ โ ฯ ) โ ( โ
โ ๐ถ โ ( ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) +o โ
) โ ( ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) +o ๐ถ ) ) ) |
36 |
35
|
imp |
โข ( ( ( ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) โ ฯ โง ๐ถ โ ฯ ) โง โ
โ ๐ถ ) โ ( ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) +o โ
) โ ( ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) +o ๐ถ ) ) |
37 |
33 36
|
eqeltrrd |
โข ( ( ( ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) โ ฯ โง ๐ถ โ ฯ ) โง โ
โ ๐ถ ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) โ ( ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) +o ๐ถ ) ) |
38 |
|
oveq2 |
โข ( ๐ด = ๐ฆ โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) = ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) ) |
39 |
38
|
eleq1d |
โข ( ๐ด = ๐ฆ โ ( ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) +o ๐ถ ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) โ ( ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) +o ๐ถ ) ) ) |
40 |
37 39
|
syl5ibrcom |
โข ( ( ( ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) โ ฯ โง ๐ถ โ ฯ ) โง โ
โ ๐ถ ) โ ( ๐ด = ๐ฆ โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) +o ๐ถ ) ) ) |
41 |
40
|
adantrr |
โข ( ( ( ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) โ ฯ โง ๐ถ โ ฯ ) โง ( โ
โ ๐ถ โง ( ๐ด โ ๐ฆ โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) ) ) ) โ ( ๐ด = ๐ฆ โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) +o ๐ถ ) ) ) |
42 |
31 41
|
jaod |
โข ( ( ( ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) โ ฯ โง ๐ถ โ ฯ ) โง ( โ
โ ๐ถ โง ( ๐ด โ ๐ฆ โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) ) ) ) โ ( ( ๐ด โ ๐ฆ โจ ๐ด = ๐ฆ ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) +o ๐ถ ) ) ) |
43 |
26 42
|
sylan |
โข ( ( ( ๐ถ โ ฯ โง ๐ฆ โ ฯ ) โง ( โ
โ ๐ถ โง ( ๐ด โ ๐ฆ โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) ) ) ) โ ( ( ๐ด โ ๐ฆ โจ ๐ด = ๐ฆ ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) +o ๐ถ ) ) ) |
44 |
23 43
|
syl5 |
โข ( ( ( ๐ถ โ ฯ โง ๐ฆ โ ฯ ) โง ( โ
โ ๐ถ โง ( ๐ด โ ๐ฆ โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) ) ) ) โ ( ๐ด โ suc ๐ฆ โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) +o ๐ถ ) ) ) |
45 |
|
nnmsuc |
โข ( ( ๐ถ โ ฯ โง ๐ฆ โ ฯ ) โ ( ๐ถ ยทo suc ๐ฆ ) = ( ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) +o ๐ถ ) ) |
46 |
45
|
eleq2d |
โข ( ( ๐ถ โ ฯ โง ๐ฆ โ ฯ ) โ ( ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo suc ๐ฆ ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) +o ๐ถ ) ) ) |
47 |
46
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ถ โ ฯ โง ๐ฆ โ ฯ ) โง ( โ
โ ๐ถ โง ( ๐ด โ ๐ฆ โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) ) ) ) โ ( ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo suc ๐ฆ ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) +o ๐ถ ) ) ) |
48 |
44 47
|
sylibrd |
โข ( ( ( ๐ถ โ ฯ โง ๐ฆ โ ฯ ) โง ( โ
โ ๐ถ โง ( ๐ด โ ๐ฆ โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) ) ) ) โ ( ๐ด โ suc ๐ฆ โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo suc ๐ฆ ) ) ) |
49 |
48
|
exp43 |
โข ( ๐ถ โ ฯ โ ( ๐ฆ โ ฯ โ ( โ
โ ๐ถ โ ( ( ๐ด โ ๐ฆ โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) ) โ ( ๐ด โ suc ๐ฆ โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo suc ๐ฆ ) ) ) ) ) ) |
50 |
49
|
com12 |
โข ( ๐ฆ โ ฯ โ ( ๐ถ โ ฯ โ ( โ
โ ๐ถ โ ( ( ๐ด โ ๐ฆ โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) ) โ ( ๐ด โ suc ๐ฆ โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo suc ๐ฆ ) ) ) ) ) ) |
51 |
50
|
adantld |
โข ( ๐ฆ โ ฯ โ ( ( ๐ด โ ฯ โง ๐ถ โ ฯ ) โ ( โ
โ ๐ถ โ ( ( ๐ด โ ๐ฆ โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) ) โ ( ๐ด โ suc ๐ฆ โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo suc ๐ฆ ) ) ) ) ) ) |
52 |
51
|
impd |
โข ( ๐ฆ โ ฯ โ ( ( ( ๐ด โ ฯ โง ๐ถ โ ฯ ) โง โ
โ ๐ถ ) โ ( ( ๐ด โ ๐ฆ โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ฆ ) ) โ ( ๐ด โ suc ๐ฆ โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo suc ๐ฆ ) ) ) ) ) |
53 |
11 15 19 22 52
|
finds2 |
โข ( ๐ฅ โ ฯ โ ( ( ( ๐ด โ ฯ โง ๐ถ โ ฯ ) โง โ
โ ๐ถ ) โ ( ๐ด โ ๐ฅ โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ฅ ) ) ) ) |
54 |
7 53
|
vtoclga |
โข ( ๐ต โ ฯ โ ( ( ( ๐ด โ ฯ โง ๐ถ โ ฯ ) โง โ
โ ๐ถ ) โ ( ๐ด โ ๐ต โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ต ) ) ) ) |
55 |
54
|
com23 |
โข ( ๐ต โ ฯ โ ( ๐ด โ ๐ต โ ( ( ( ๐ด โ ฯ โง ๐ถ โ ฯ ) โง โ
โ ๐ถ ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ต ) ) ) ) |
56 |
55
|
exp4a |
โข ( ๐ต โ ฯ โ ( ๐ด โ ๐ต โ ( ( ๐ด โ ฯ โง ๐ถ โ ฯ ) โ ( โ
โ ๐ถ โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ต ) ) ) ) ) |
57 |
56
|
exp4a |
โข ( ๐ต โ ฯ โ ( ๐ด โ ๐ต โ ( ๐ด โ ฯ โ ( ๐ถ โ ฯ โ ( โ
โ ๐ถ โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ต ) ) ) ) ) ) |
58 |
2 57
|
mpdd |
โข ( ๐ต โ ฯ โ ( ๐ด โ ๐ต โ ( ๐ถ โ ฯ โ ( โ
โ ๐ถ โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ต ) ) ) ) ) |
59 |
58
|
com34 |
โข ( ๐ต โ ฯ โ ( ๐ด โ ๐ต โ ( โ
โ ๐ถ โ ( ๐ถ โ ฯ โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ต ) ) ) ) ) |
60 |
59
|
com24 |
โข ( ๐ต โ ฯ โ ( ๐ถ โ ฯ โ ( โ
โ ๐ถ โ ( ๐ด โ ๐ต โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ต ) ) ) ) ) |
61 |
60
|
imp31 |
โข ( ( ( ๐ต โ ฯ โง ๐ถ โ ฯ ) โง โ
โ ๐ถ ) โ ( ๐ด โ ๐ต โ ( ๐ถ ยทo ๐ด ) โ ( ๐ถ ยทo ๐ต ) ) ) |