Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
eluz2b3 |
โข ( ๐ โ ( โคโฅ โ 2 ) โ ( ๐ โ โ โง ๐ โ 1 ) ) |
2 |
|
nnnn0 |
โข ( ๐ โ โ โ ๐ โ โ0 ) |
3 |
|
nn0o1gt2 |
โข ( ( ๐ โ โ0 โง ( ( ๐ + 1 ) / 2 ) โ โ0 ) โ ( ๐ = 1 โจ 2 < ๐ ) ) |
4 |
2 3
|
sylan |
โข ( ( ๐ โ โ โง ( ( ๐ + 1 ) / 2 ) โ โ0 ) โ ( ๐ = 1 โจ 2 < ๐ ) ) |
5 |
|
eqneqall |
โข ( ๐ = 1 โ ( ๐ โ 1 โ ( ( ๐ โ 1 ) / 2 ) โ โ ) ) |
6 |
5
|
a1d |
โข ( ๐ = 1 โ ( ( ๐ โ โ โง ( ( ๐ + 1 ) / 2 ) โ โ0 ) โ ( ๐ โ 1 โ ( ( ๐ โ 1 ) / 2 ) โ โ ) ) ) |
7 |
|
nn0z |
โข ( ( ( ๐ + 1 ) / 2 ) โ โ0 โ ( ( ๐ + 1 ) / 2 ) โ โค ) |
8 |
|
peano2zm |
โข ( ( ( ๐ + 1 ) / 2 ) โ โค โ ( ( ( ๐ + 1 ) / 2 ) โ 1 ) โ โค ) |
9 |
7 8
|
syl |
โข ( ( ( ๐ + 1 ) / 2 ) โ โ0 โ ( ( ( ๐ + 1 ) / 2 ) โ 1 ) โ โค ) |
10 |
9
|
ad2antlr |
โข ( ( ( ๐ โ โ โง ( ( ๐ + 1 ) / 2 ) โ โ0 ) โง 2 < ๐ ) โ ( ( ( ๐ + 1 ) / 2 ) โ 1 ) โ โค ) |
11 |
|
2cn |
โข 2 โ โ |
12 |
11
|
mullidi |
โข ( 1 ยท 2 ) = 2 |
13 |
|
nnre |
โข ( ๐ โ โ โ ๐ โ โ ) |
14 |
13
|
ltp1d |
โข ( ๐ โ โ โ ๐ < ( ๐ + 1 ) ) |
15 |
14
|
adantr |
โข ( ( ๐ โ โ โง 2 < ๐ ) โ ๐ < ( ๐ + 1 ) ) |
16 |
|
2re |
โข 2 โ โ |
17 |
|
peano2nn |
โข ( ๐ โ โ โ ( ๐ + 1 ) โ โ ) |
18 |
17
|
nnred |
โข ( ๐ โ โ โ ( ๐ + 1 ) โ โ ) |
19 |
|
lttr |
โข ( ( 2 โ โ โง ๐ โ โ โง ( ๐ + 1 ) โ โ ) โ ( ( 2 < ๐ โง ๐ < ( ๐ + 1 ) ) โ 2 < ( ๐ + 1 ) ) ) |
20 |
16 13 18 19
|
mp3an2i |
โข ( ๐ โ โ โ ( ( 2 < ๐ โง ๐ < ( ๐ + 1 ) ) โ 2 < ( ๐ + 1 ) ) ) |
21 |
20
|
expdimp |
โข ( ( ๐ โ โ โง 2 < ๐ ) โ ( ๐ < ( ๐ + 1 ) โ 2 < ( ๐ + 1 ) ) ) |
22 |
15 21
|
mpd |
โข ( ( ๐ โ โ โง 2 < ๐ ) โ 2 < ( ๐ + 1 ) ) |
23 |
12 22
|
eqbrtrid |
โข ( ( ๐ โ โ โง 2 < ๐ ) โ ( 1 ยท 2 ) < ( ๐ + 1 ) ) |
24 |
|
1red |
โข ( ( ๐ โ โ โง 2 < ๐ ) โ 1 โ โ ) |
25 |
18
|
adantr |
โข ( ( ๐ โ โ โง 2 < ๐ ) โ ( ๐ + 1 ) โ โ ) |
26 |
|
2rp |
โข 2 โ โ+ |
27 |
26
|
a1i |
โข ( ( ๐ โ โ โง 2 < ๐ ) โ 2 โ โ+ ) |
28 |
24 25 27
|
ltmuldivd |
โข ( ( ๐ โ โ โง 2 < ๐ ) โ ( ( 1 ยท 2 ) < ( ๐ + 1 ) โ 1 < ( ( ๐ + 1 ) / 2 ) ) ) |
29 |
23 28
|
mpbid |
โข ( ( ๐ โ โ โง 2 < ๐ ) โ 1 < ( ( ๐ + 1 ) / 2 ) ) |
30 |
18
|
rehalfcld |
โข ( ๐ โ โ โ ( ( ๐ + 1 ) / 2 ) โ โ ) |
31 |
30
|
adantr |
โข ( ( ๐ โ โ โง 2 < ๐ ) โ ( ( ๐ + 1 ) / 2 ) โ โ ) |
32 |
24 31
|
posdifd |
โข ( ( ๐ โ โ โง 2 < ๐ ) โ ( 1 < ( ( ๐ + 1 ) / 2 ) โ 0 < ( ( ( ๐ + 1 ) / 2 ) โ 1 ) ) ) |
33 |
29 32
|
mpbid |
โข ( ( ๐ โ โ โง 2 < ๐ ) โ 0 < ( ( ( ๐ + 1 ) / 2 ) โ 1 ) ) |
34 |
33
|
adantlr |
โข ( ( ( ๐ โ โ โง ( ( ๐ + 1 ) / 2 ) โ โ0 ) โง 2 < ๐ ) โ 0 < ( ( ( ๐ + 1 ) / 2 ) โ 1 ) ) |
35 |
|
elnnz |
โข ( ( ( ( ๐ + 1 ) / 2 ) โ 1 ) โ โ โ ( ( ( ( ๐ + 1 ) / 2 ) โ 1 ) โ โค โง 0 < ( ( ( ๐ + 1 ) / 2 ) โ 1 ) ) ) |
36 |
10 34 35
|
sylanbrc |
โข ( ( ( ๐ โ โ โง ( ( ๐ + 1 ) / 2 ) โ โ0 ) โง 2 < ๐ ) โ ( ( ( ๐ + 1 ) / 2 ) โ 1 ) โ โ ) |
37 |
|
nncn |
โข ( ๐ โ โ โ ๐ โ โ ) |
38 |
|
xp1d2m1eqxm1d2 |
โข ( ๐ โ โ โ ( ( ( ๐ + 1 ) / 2 ) โ 1 ) = ( ( ๐ โ 1 ) / 2 ) ) |
39 |
37 38
|
syl |
โข ( ๐ โ โ โ ( ( ( ๐ + 1 ) / 2 ) โ 1 ) = ( ( ๐ โ 1 ) / 2 ) ) |
40 |
39
|
eleq1d |
โข ( ๐ โ โ โ ( ( ( ( ๐ + 1 ) / 2 ) โ 1 ) โ โ โ ( ( ๐ โ 1 ) / 2 ) โ โ ) ) |
41 |
40
|
adantr |
โข ( ( ๐ โ โ โง ( ( ๐ + 1 ) / 2 ) โ โ0 ) โ ( ( ( ( ๐ + 1 ) / 2 ) โ 1 ) โ โ โ ( ( ๐ โ 1 ) / 2 ) โ โ ) ) |
42 |
41
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โ โ โง ( ( ๐ + 1 ) / 2 ) โ โ0 ) โง 2 < ๐ ) โ ( ( ( ( ๐ + 1 ) / 2 ) โ 1 ) โ โ โ ( ( ๐ โ 1 ) / 2 ) โ โ ) ) |
43 |
36 42
|
mpbid |
โข ( ( ( ๐ โ โ โง ( ( ๐ + 1 ) / 2 ) โ โ0 ) โง 2 < ๐ ) โ ( ( ๐ โ 1 ) / 2 ) โ โ ) |
44 |
43
|
a1d |
โข ( ( ( ๐ โ โ โง ( ( ๐ + 1 ) / 2 ) โ โ0 ) โง 2 < ๐ ) โ ( ๐ โ 1 โ ( ( ๐ โ 1 ) / 2 ) โ โ ) ) |
45 |
44
|
expcom |
โข ( 2 < ๐ โ ( ( ๐ โ โ โง ( ( ๐ + 1 ) / 2 ) โ โ0 ) โ ( ๐ โ 1 โ ( ( ๐ โ 1 ) / 2 ) โ โ ) ) ) |
46 |
6 45
|
jaoi |
โข ( ( ๐ = 1 โจ 2 < ๐ ) โ ( ( ๐ โ โ โง ( ( ๐ + 1 ) / 2 ) โ โ0 ) โ ( ๐ โ 1 โ ( ( ๐ โ 1 ) / 2 ) โ โ ) ) ) |
47 |
4 46
|
mpcom |
โข ( ( ๐ โ โ โง ( ( ๐ + 1 ) / 2 ) โ โ0 ) โ ( ๐ โ 1 โ ( ( ๐ โ 1 ) / 2 ) โ โ ) ) |
48 |
47
|
impancom |
โข ( ( ๐ โ โ โง ๐ โ 1 ) โ ( ( ( ๐ + 1 ) / 2 ) โ โ0 โ ( ( ๐ โ 1 ) / 2 ) โ โ ) ) |
49 |
1 48
|
sylbi |
โข ( ๐ โ ( โคโฅ โ 2 ) โ ( ( ( ๐ + 1 ) / 2 ) โ โ0 โ ( ( ๐ โ 1 ) / 2 ) โ โ ) ) |
50 |
49
|
imp |
โข ( ( ๐ โ ( โคโฅ โ 2 ) โง ( ( ๐ + 1 ) / 2 ) โ โ0 ) โ ( ( ๐ โ 1 ) / 2 ) โ โ ) |