Theorem normlem9at

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Remark 3.4(B) of Beran p. 98. (Contributed by NM, 10-May-2005) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Assertion	normlem9at	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ·ih ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) = ( ( ( 𝐴 ·ih 𝐴 ) + ( 𝐵 ·ih 𝐵 ) ) − ( ( 𝐴 ·ih 𝐵 ) + ( 𝐵 ·ih 𝐴 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) = ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) )
2	1 1	oveq12d	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ·ih ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) = ( ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ·ih ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ) )
3		id	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) )
4	3 3	oveq12d	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( 𝐴 ·ih 𝐴 ) = ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ·ih if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) )
5	4	oveq1d	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( ( 𝐴 ·ih 𝐴 ) + ( 𝐵 ·ih 𝐵 ) ) = ( ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ·ih if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) + ( 𝐵 ·ih 𝐵 ) ) )
6		oveq1	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( 𝐴 ·ih 𝐵 ) = ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ·ih 𝐵 ) )
7		oveq2	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( 𝐵 ·ih 𝐴 ) = ( 𝐵 ·ih if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) )
8	6 7	oveq12d	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( ( 𝐴 ·ih 𝐵 ) + ( 𝐵 ·ih 𝐴 ) ) = ( ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ·ih 𝐵 ) + ( 𝐵 ·ih if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) ) )
9	5 8	oveq12d	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( ( ( 𝐴 ·ih 𝐴 ) + ( 𝐵 ·ih 𝐵 ) ) − ( ( 𝐴 ·ih 𝐵 ) + ( 𝐵 ·ih 𝐴 ) ) ) = ( ( ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ·ih if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) + ( 𝐵 ·ih 𝐵 ) ) − ( ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ·ih 𝐵 ) + ( 𝐵 ·ih if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) ) ) )
10	2 9	eqeq12d	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( ( ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ·ih ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) = ( ( ( 𝐴 ·ih 𝐴 ) + ( 𝐵 ·ih 𝐵 ) ) − ( ( 𝐴 ·ih 𝐵 ) + ( 𝐵 ·ih 𝐴 ) ) ) ↔ ( ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ·ih ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ) = ( ( ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ·ih if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) + ( 𝐵 ·ih 𝐵 ) ) − ( ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ·ih 𝐵 ) + ( 𝐵 ·ih if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) ) ) ) )
11		oveq2	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) = ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) )
12	11 11	oveq12d	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ·ih ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ) = ( ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ·ih ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) )
13		id	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) )
14	13 13	oveq12d	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( 𝐵 ·ih 𝐵 ) = ( if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ·ih if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) )
15	14	oveq2d	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ·ih if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) + ( 𝐵 ·ih 𝐵 ) ) = ( ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ·ih if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) + ( if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ·ih if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) )
16		oveq2	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ·ih 𝐵 ) = ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ·ih if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) )
17		oveq1	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( 𝐵 ·ih if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) = ( if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ·ih if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) )
18	16 17	oveq12d	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ·ih 𝐵 ) + ( 𝐵 ·ih if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) ) = ( ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ·ih if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) + ( if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ·ih if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) ) )
19	15 18	oveq12d	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( ( ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ·ih if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) + ( 𝐵 ·ih 𝐵 ) ) − ( ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ·ih 𝐵 ) + ( 𝐵 ·ih if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) ) ) = ( ( ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ·ih if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) + ( if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ·ih if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) − ( ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ·ih if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) + ( if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ·ih if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) ) ) )
20	12 19	eqeq12d	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( ( ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ·ih ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ) = ( ( ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ·ih if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) + ( 𝐵 ·ih 𝐵 ) ) − ( ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ·ih 𝐵 ) + ( 𝐵 ·ih if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) ) ) ↔ ( ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ·ih ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) = ( ( ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ·ih if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) + ( if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ·ih if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) − ( ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ·ih if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) + ( if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ·ih if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) ) ) ) )
21		ifhvhv0	⊢ if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ∈ ℋ
22		ifhvhv0	⊢ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ∈ ℋ
23	21 22 21 22	normlem9	⊢ ( ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ·ih ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) = ( ( ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ·ih if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) + ( if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ·ih if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) − ( ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ·ih if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) + ( if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ·ih if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) ) )
24	10 20 23	dedth2h	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ·ih ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) = ( ( ( 𝐴 ·ih 𝐴 ) + ( 𝐵 ·ih 𝐵 ) ) − ( ( 𝐴 ·ih 𝐵 ) + ( 𝐵 ·ih 𝐴 ) ) ) )