Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
odmulgid.1 |
โข ๐ = ( Base โ ๐บ ) |
2 |
|
odmulgid.2 |
โข ๐ = ( od โ ๐บ ) |
3 |
|
odmulgid.3 |
โข ยท = ( .g โ ๐บ ) |
4 |
1 3
|
mulgcl |
โข ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ โ โค โง ๐ด โ ๐ ) โ ( ๐ ยท ๐ด ) โ ๐ ) |
5 |
4
|
3com23 |
โข ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โ ( ๐ ยท ๐ด ) โ ๐ ) |
6 |
1 2
|
odcl |
โข ( ( ๐ ยท ๐ด ) โ ๐ โ ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) โ โ0 ) |
7 |
5 6
|
syl |
โข ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โ ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) โ โ0 ) |
8 |
7
|
nn0cnd |
โข ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โ ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) โ โ ) |
9 |
8
|
adantr |
โข ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) = 0 ) โ ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) โ โ ) |
10 |
9
|
mul02d |
โข ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) = 0 ) โ ( 0 ยท ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) ) = 0 ) |
11 |
|
simpr |
โข ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) = 0 ) โ ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) = 0 ) |
12 |
11
|
oveq1d |
โข ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) = 0 ) โ ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ยท ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) ) = ( 0 ยท ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) ) ) |
13 |
|
simp3 |
โข ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โ ๐ โ โค ) |
14 |
1 2
|
odcl |
โข ( ๐ด โ ๐ โ ( ๐ โ ๐ด ) โ โ0 ) |
15 |
14
|
3ad2ant2 |
โข ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โ ( ๐ โ ๐ด ) โ โ0 ) |
16 |
15
|
nn0zd |
โข ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โ ( ๐ โ ๐ด ) โ โค ) |
17 |
|
gcdeq0 |
โข ( ( ๐ โ โค โง ( ๐ โ ๐ด ) โ โค ) โ ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) = 0 โ ( ๐ = 0 โง ( ๐ โ ๐ด ) = 0 ) ) ) |
18 |
13 16 17
|
syl2anc |
โข ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โ ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) = 0 โ ( ๐ = 0 โง ( ๐ โ ๐ด ) = 0 ) ) ) |
19 |
18
|
simplbda |
โข ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) = 0 ) โ ( ๐ โ ๐ด ) = 0 ) |
20 |
10 12 19
|
3eqtr4rd |
โข ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) = 0 ) โ ( ๐ โ ๐ด ) = ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ยท ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) ) ) |
21 |
|
simpll3 |
โข ( ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ 0 ) โง ๐ฅ โ โ0 ) โ ๐ โ โค ) |
22 |
16
|
ad2antrr |
โข ( ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ 0 ) โง ๐ฅ โ โ0 ) โ ( ๐ โ ๐ด ) โ โค ) |
23 |
|
gcddvds |
โข ( ( ๐ โ โค โง ( ๐ โ ๐ด ) โ โค ) โ ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โฅ ๐ โง ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โฅ ( ๐ โ ๐ด ) ) ) |
24 |
21 22 23
|
syl2anc |
โข ( ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ 0 ) โง ๐ฅ โ โ0 ) โ ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โฅ ๐ โง ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โฅ ( ๐ โ ๐ด ) ) ) |
25 |
24
|
simprd |
โข ( ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ 0 ) โง ๐ฅ โ โ0 ) โ ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โฅ ( ๐ โ ๐ด ) ) |
26 |
13 16
|
gcdcld |
โข ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โ ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ โ0 ) |
27 |
26
|
adantr |
โข ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ 0 ) โ ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ โ0 ) |
28 |
27
|
nn0zd |
โข ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ 0 ) โ ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ โค ) |
29 |
28
|
adantr |
โข ( ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ 0 ) โง ๐ฅ โ โ0 ) โ ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ โค ) |
30 |
|
nn0z |
โข ( ๐ฅ โ โ0 โ ๐ฅ โ โค ) |
31 |
30
|
adantl |
โข ( ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ 0 ) โง ๐ฅ โ โ0 ) โ ๐ฅ โ โค ) |
32 |
|
dvdstr |
โข ( ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ โค โง ( ๐ โ ๐ด ) โ โค โง ๐ฅ โ โค ) โ ( ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โฅ ( ๐ โ ๐ด ) โง ( ๐ โ ๐ด ) โฅ ๐ฅ ) โ ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โฅ ๐ฅ ) ) |
33 |
29 22 31 32
|
syl3anc |
โข ( ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ 0 ) โง ๐ฅ โ โ0 ) โ ( ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โฅ ( ๐ โ ๐ด ) โง ( ๐ โ ๐ด ) โฅ ๐ฅ ) โ ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โฅ ๐ฅ ) ) |
34 |
25 33
|
mpand |
โข ( ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ 0 ) โง ๐ฅ โ โ0 ) โ ( ( ๐ โ ๐ด ) โฅ ๐ฅ โ ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โฅ ๐ฅ ) ) |
35 |
7
|
nn0zd |
โข ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โ ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) โ โค ) |
36 |
35
|
ad2antrr |
โข ( ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ 0 ) โง ๐ฅ โ โ0 ) โ ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) โ โค ) |
37 |
|
muldvds1 |
โข ( ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ โค โง ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) โ โค โง ๐ฅ โ โค ) โ ( ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ยท ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) ) โฅ ๐ฅ โ ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โฅ ๐ฅ ) ) |
38 |
29 36 31 37
|
syl3anc |
โข ( ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ 0 ) โง ๐ฅ โ โ0 ) โ ( ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ยท ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) ) โฅ ๐ฅ โ ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โฅ ๐ฅ ) ) |
39 |
|
dvdszrcl |
โข ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โฅ ๐ฅ โ ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ โค โง ๐ฅ โ โค ) ) |
40 |
|
divides |
โข ( ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ โค โง ๐ฅ โ โค ) โ ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โฅ ๐ฅ โ โ ๐ฆ โ โค ( ๐ฆ ยท ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ) = ๐ฅ ) ) |
41 |
39 40
|
syl |
โข ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โฅ ๐ฅ โ ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โฅ ๐ฅ โ โ ๐ฆ โ โค ( ๐ฆ ยท ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ) = ๐ฅ ) ) |
42 |
41
|
ibi |
โข ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โฅ ๐ฅ โ โ ๐ฆ โ โค ( ๐ฆ ยท ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ) = ๐ฅ ) |
43 |
35
|
adantr |
โข ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ 0 โง ๐ฆ โ โค ) ) โ ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) โ โค ) |
44 |
|
simprr |
โข ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ 0 โง ๐ฆ โ โค ) ) โ ๐ฆ โ โค ) |
45 |
28
|
adantrr |
โข ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ 0 โง ๐ฆ โ โค ) ) โ ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ โค ) |
46 |
|
simprl |
โข ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ 0 โง ๐ฆ โ โค ) ) โ ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ 0 ) |
47 |
|
dvdscmulr |
โข ( ( ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) โ โค โง ๐ฆ โ โค โง ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ โค โง ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ 0 ) ) โ ( ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ยท ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) ) โฅ ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ยท ๐ฆ ) โ ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) โฅ ๐ฆ ) ) |
48 |
43 44 45 46 47
|
syl112anc |
โข ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ 0 โง ๐ฆ โ โค ) ) โ ( ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ยท ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) ) โฅ ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ยท ๐ฆ ) โ ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) โฅ ๐ฆ ) ) |
49 |
1 2 3
|
odmulgid |
โข ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ๐ฆ โ โค ) โ ( ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) โฅ ๐ฆ โ ( ๐ โ ๐ด ) โฅ ( ๐ฆ ยท ๐ ) ) ) |
50 |
49
|
adantrl |
โข ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ 0 โง ๐ฆ โ โค ) ) โ ( ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) โฅ ๐ฆ โ ( ๐ โ ๐ด ) โฅ ( ๐ฆ ยท ๐ ) ) ) |
51 |
|
simpl3 |
โข ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ 0 โง ๐ฆ โ โค ) ) โ ๐ โ โค ) |
52 |
|
dvdsmulgcd |
โข ( ( ๐ฆ โ โค โง ๐ โ โค ) โ ( ( ๐ โ ๐ด ) โฅ ( ๐ฆ ยท ๐ ) โ ( ๐ โ ๐ด ) โฅ ( ๐ฆ ยท ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ) ) ) |
53 |
44 51 52
|
syl2anc |
โข ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ 0 โง ๐ฆ โ โค ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ด ) โฅ ( ๐ฆ ยท ๐ ) โ ( ๐ โ ๐ด ) โฅ ( ๐ฆ ยท ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ) ) ) |
54 |
48 50 53
|
3bitrrd |
โข ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ 0 โง ๐ฆ โ โค ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ด ) โฅ ( ๐ฆ ยท ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ) โ ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ยท ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) ) โฅ ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ยท ๐ฆ ) ) ) |
55 |
45
|
zcnd |
โข ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ 0 โง ๐ฆ โ โค ) ) โ ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ โ ) |
56 |
44
|
zcnd |
โข ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ 0 โง ๐ฆ โ โค ) ) โ ๐ฆ โ โ ) |
57 |
55 56
|
mulcomd |
โข ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ 0 โง ๐ฆ โ โค ) ) โ ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ยท ๐ฆ ) = ( ๐ฆ ยท ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ) ) |
58 |
57
|
breq2d |
โข ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ 0 โง ๐ฆ โ โค ) ) โ ( ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ยท ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) ) โฅ ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ยท ๐ฆ ) โ ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ยท ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) ) โฅ ( ๐ฆ ยท ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ) ) ) |
59 |
54 58
|
bitrd |
โข ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ 0 โง ๐ฆ โ โค ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ด ) โฅ ( ๐ฆ ยท ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ) โ ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ยท ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) ) โฅ ( ๐ฆ ยท ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ) ) ) |
60 |
59
|
anassrs |
โข ( ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ 0 ) โง ๐ฆ โ โค ) โ ( ( ๐ โ ๐ด ) โฅ ( ๐ฆ ยท ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ) โ ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ยท ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) ) โฅ ( ๐ฆ ยท ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ) ) ) |
61 |
|
breq2 |
โข ( ( ๐ฆ ยท ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ) = ๐ฅ โ ( ( ๐ โ ๐ด ) โฅ ( ๐ฆ ยท ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ) โ ( ๐ โ ๐ด ) โฅ ๐ฅ ) ) |
62 |
|
breq2 |
โข ( ( ๐ฆ ยท ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ) = ๐ฅ โ ( ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ยท ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) ) โฅ ( ๐ฆ ยท ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ) โ ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ยท ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) ) โฅ ๐ฅ ) ) |
63 |
61 62
|
bibi12d |
โข ( ( ๐ฆ ยท ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ) = ๐ฅ โ ( ( ( ๐ โ ๐ด ) โฅ ( ๐ฆ ยท ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ) โ ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ยท ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) ) โฅ ( ๐ฆ ยท ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ด ) โฅ ๐ฅ โ ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ยท ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) ) โฅ ๐ฅ ) ) ) |
64 |
60 63
|
syl5ibcom |
โข ( ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ 0 ) โง ๐ฆ โ โค ) โ ( ( ๐ฆ ยท ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ) = ๐ฅ โ ( ( ๐ โ ๐ด ) โฅ ๐ฅ โ ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ยท ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) ) โฅ ๐ฅ ) ) ) |
65 |
64
|
rexlimdva |
โข ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ 0 ) โ ( โ ๐ฆ โ โค ( ๐ฆ ยท ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ) = ๐ฅ โ ( ( ๐ โ ๐ด ) โฅ ๐ฅ โ ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ยท ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) ) โฅ ๐ฅ ) ) ) |
66 |
42 65
|
syl5 |
โข ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ 0 ) โ ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โฅ ๐ฅ โ ( ( ๐ โ ๐ด ) โฅ ๐ฅ โ ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ยท ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) ) โฅ ๐ฅ ) ) ) |
67 |
66
|
adantr |
โข ( ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ 0 ) โง ๐ฅ โ โ0 ) โ ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โฅ ๐ฅ โ ( ( ๐ โ ๐ด ) โฅ ๐ฅ โ ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ยท ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) ) โฅ ๐ฅ ) ) ) |
68 |
34 38 67
|
pm5.21ndd |
โข ( ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ 0 ) โง ๐ฅ โ โ0 ) โ ( ( ๐ โ ๐ด ) โฅ ๐ฅ โ ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ยท ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) ) โฅ ๐ฅ ) ) |
69 |
68
|
ralrimiva |
โข ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ 0 ) โ โ ๐ฅ โ โ0 ( ( ๐ โ ๐ด ) โฅ ๐ฅ โ ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ยท ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) ) โฅ ๐ฅ ) ) |
70 |
15
|
adantr |
โข ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ 0 ) โ ( ๐ โ ๐ด ) โ โ0 ) |
71 |
7
|
adantr |
โข ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ 0 ) โ ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) โ โ0 ) |
72 |
27 71
|
nn0mulcld |
โข ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ 0 ) โ ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ยท ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) ) โ โ0 ) |
73 |
|
dvdsext |
โข ( ( ( ๐ โ ๐ด ) โ โ0 โง ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ยท ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) ) โ โ0 ) โ ( ( ๐ โ ๐ด ) = ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ยท ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) ) โ โ ๐ฅ โ โ0 ( ( ๐ โ ๐ด ) โฅ ๐ฅ โ ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ยท ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) ) โฅ ๐ฅ ) ) ) |
74 |
70 72 73
|
syl2anc |
โข ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ 0 ) โ ( ( ๐ โ ๐ด ) = ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ยท ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) ) โ โ ๐ฅ โ โ0 ( ( ๐ โ ๐ด ) โฅ ๐ฅ โ ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ยท ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) ) โฅ ๐ฅ ) ) ) |
75 |
69 74
|
mpbird |
โข ( ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โง ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) โ 0 ) โ ( ๐ โ ๐ด ) = ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ยท ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) ) ) |
76 |
20 75
|
pm2.61dane |
โข ( ( ๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ โ โค ) โ ( ๐ โ ๐ด ) = ( ( ๐ gcd ( ๐ โ ๐ด ) ) ยท ( ๐ โ ( ๐ ยท ๐ด ) ) ) ) |