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Theorem oldmm1

Description: De Morgan's law for meet in an ortholattice. ( chdmm1 analog.) (Contributed by NM, 6-Nov-2011)

Ref Expression
Hypotheses oldmm1.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
oldmm1.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
oldmm1.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
oldmm1.o ⊢ ⊥ = ( oc ‘ 𝐾 )
Assertion oldmm1 ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ⊥ ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) = ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∨ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 oldmm1.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 oldmm1.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 oldmm1.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
4 oldmm1.o ⊢ ⊥ = ( oc ‘ 𝐾 )
5 eqid ⊢ ( le ‘ 𝐾 ) = ( le ‘ 𝐾 )
6 ollat ⊢ ( 𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat )
7 6 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → 𝐾 ∈ Lat )
8 olop ⊢ ( 𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP )
9 8 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → 𝐾 ∈ OP )
10 1 3 latmcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
11 6 10 syl3an1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
12 1 4 opoccl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝐵 ) → ( ⊥ ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ∈ 𝐵 )
13 9 11 12 syl2anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ⊥ ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ∈ 𝐵 )
14 1 4 opoccl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∈ 𝐵 )
15 8 14 sylan ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∈ 𝐵 )
16 15 3adant3 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∈ 𝐵 )
17 1 4 opoccl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
18 8 17 sylan ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
19 18 3adant2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
20 1 2 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∨ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) ∈ 𝐵 )
21 7 16 19 20 syl3anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∨ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) ∈ 𝐵 )
22 1 5 2 latlej1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∈ 𝐵 ) → ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∨ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) )
23 7 16 19 22 syl3anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∨ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) )
24 simp2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
25 1 5 4 oplecon1b ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∨ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) ∈ 𝐵 ) → ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∨ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) ↔ ( ⊥ ‘ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∨ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) )
26 9 24 21 25 syl3anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∨ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) ↔ ( ⊥ ‘ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∨ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) )
27 23 26 mpbid ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ⊥ ‘ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∨ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 )
28 1 5 2 latlej2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∈ 𝐵 ) → ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∨ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) )
29 7 16 19 28 syl3anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∨ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) )
30 simp3 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → 𝑌 ∈ 𝐵 )
31 1 5 4 oplecon1b ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∨ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) ∈ 𝐵 ) → ( ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∨ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) ↔ ( ⊥ ‘ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∨ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) )
32 9 30 21 31 syl3anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∨ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) ↔ ( ⊥ ‘ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∨ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) )
33 29 32 mpbid ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ⊥ ‘ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∨ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 )
34 1 4 opoccl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∨ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) ∈ 𝐵 ) → ( ⊥ ‘ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∨ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) ) ∈ 𝐵 )
35 9 21 34 syl2anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ⊥ ‘ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∨ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) ) ∈ 𝐵 )
36 1 5 3 latlem12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∨ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( ⊥ ‘ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∨ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ∧ ( ⊥ ‘ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∨ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ↔ ( ⊥ ‘ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∨ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) )
37 7 35 24 30 36 syl13anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( ⊥ ‘ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∨ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ∧ ( ⊥ ‘ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∨ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ↔ ( ⊥ ‘ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∨ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) )
38 27 33 37 mpbi2and ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ⊥ ‘ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∨ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) )
39 1 5 4 oplecon1b ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∨ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( ⊥ ‘ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∨ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ↔ ( ⊥ ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∨ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) ) )
40 9 21 11 39 syl3anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( ⊥ ‘ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∨ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ↔ ( ⊥ ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∨ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) ) )
41 38 40 mpbid ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ⊥ ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∨ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) )
42 1 5 3 latmle1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 )
43 6 42 syl3an1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 )
44 1 5 4 oplecon3b ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ↔ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ⊥ ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ) )
45 9 11 24 44 syl3anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ↔ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ⊥ ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ) )
46 43 45 mpbid ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ⊥ ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) )
47 1 5 3 latmle2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 )
48 6 47 syl3an1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 )
49 1 5 4 oplecon3b ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ↔ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ⊥ ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ) )
50 9 11 30 49 syl3anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ↔ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ⊥ ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ) )
51 48 50 mpbid ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ⊥ ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) )
52 1 5 2 latjle12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ⊥ ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ∧ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ⊥ ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ) ↔ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∨ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ⊥ ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ) )
53 7 16 19 13 52 syl13anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ⊥ ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ∧ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ⊥ ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ) ↔ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∨ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ⊥ ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ) )
54 46 51 53 mpbi2and ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∨ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ⊥ ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) )
55 1 5 7 13 21 41 54 latasymd ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ⊥ ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) = ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∨ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ) )