Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
limelon |
โข ( ( ๐ต โ ๐ถ โง Lim ๐ต ) โ ๐ต โ On ) |
2 |
|
omcl |
โข ( ( ๐ด โ On โง ๐ต โ On ) โ ( ๐ด ยทo ๐ต ) โ On ) |
3 |
|
eloni |
โข ( ( ๐ด ยทo ๐ต ) โ On โ Ord ( ๐ด ยทo ๐ต ) ) |
4 |
2 3
|
syl |
โข ( ( ๐ด โ On โง ๐ต โ On ) โ Ord ( ๐ด ยทo ๐ต ) ) |
5 |
1 4
|
sylan2 |
โข ( ( ๐ด โ On โง ( ๐ต โ ๐ถ โง Lim ๐ต ) ) โ Ord ( ๐ด ยทo ๐ต ) ) |
6 |
5
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ด โ On โง ( ๐ต โ ๐ถ โง Lim ๐ต ) ) โง โ
โ ๐ด ) โ Ord ( ๐ด ยทo ๐ต ) ) |
7 |
|
0ellim |
โข ( Lim ๐ต โ โ
โ ๐ต ) |
8 |
|
n0i |
โข ( โ
โ ๐ต โ ยฌ ๐ต = โ
) |
9 |
7 8
|
syl |
โข ( Lim ๐ต โ ยฌ ๐ต = โ
) |
10 |
|
n0i |
โข ( โ
โ ๐ด โ ยฌ ๐ด = โ
) |
11 |
9 10
|
anim12ci |
โข ( ( Lim ๐ต โง โ
โ ๐ด ) โ ( ยฌ ๐ด = โ
โง ยฌ ๐ต = โ
) ) |
12 |
11
|
adantll |
โข ( ( ( ๐ต โ ๐ถ โง Lim ๐ต ) โง โ
โ ๐ด ) โ ( ยฌ ๐ด = โ
โง ยฌ ๐ต = โ
) ) |
13 |
12
|
adantll |
โข ( ( ( ๐ด โ On โง ( ๐ต โ ๐ถ โง Lim ๐ต ) ) โง โ
โ ๐ด ) โ ( ยฌ ๐ด = โ
โง ยฌ ๐ต = โ
) ) |
14 |
|
om00 |
โข ( ( ๐ด โ On โง ๐ต โ On ) โ ( ( ๐ด ยทo ๐ต ) = โ
โ ( ๐ด = โ
โจ ๐ต = โ
) ) ) |
15 |
14
|
notbid |
โข ( ( ๐ด โ On โง ๐ต โ On ) โ ( ยฌ ( ๐ด ยทo ๐ต ) = โ
โ ยฌ ( ๐ด = โ
โจ ๐ต = โ
) ) ) |
16 |
|
ioran |
โข ( ยฌ ( ๐ด = โ
โจ ๐ต = โ
) โ ( ยฌ ๐ด = โ
โง ยฌ ๐ต = โ
) ) |
17 |
15 16
|
bitrdi |
โข ( ( ๐ด โ On โง ๐ต โ On ) โ ( ยฌ ( ๐ด ยทo ๐ต ) = โ
โ ( ยฌ ๐ด = โ
โง ยฌ ๐ต = โ
) ) ) |
18 |
1 17
|
sylan2 |
โข ( ( ๐ด โ On โง ( ๐ต โ ๐ถ โง Lim ๐ต ) ) โ ( ยฌ ( ๐ด ยทo ๐ต ) = โ
โ ( ยฌ ๐ด = โ
โง ยฌ ๐ต = โ
) ) ) |
19 |
18
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ด โ On โง ( ๐ต โ ๐ถ โง Lim ๐ต ) ) โง โ
โ ๐ด ) โ ( ยฌ ( ๐ด ยทo ๐ต ) = โ
โ ( ยฌ ๐ด = โ
โง ยฌ ๐ต = โ
) ) ) |
20 |
13 19
|
mpbird |
โข ( ( ( ๐ด โ On โง ( ๐ต โ ๐ถ โง Lim ๐ต ) ) โง โ
โ ๐ด ) โ ยฌ ( ๐ด ยทo ๐ต ) = โ
) |
21 |
|
vex |
โข ๐ฆ โ V |
22 |
21
|
sucid |
โข ๐ฆ โ suc ๐ฆ |
23 |
|
omlim |
โข ( ( ๐ด โ On โง ( ๐ต โ ๐ถ โง Lim ๐ต ) ) โ ( ๐ด ยทo ๐ต ) = โช ๐ฅ โ ๐ต ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) ) |
24 |
|
eqeq1 |
โข ( ( ๐ด ยทo ๐ต ) = suc ๐ฆ โ ( ( ๐ด ยทo ๐ต ) = โช ๐ฅ โ ๐ต ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) โ suc ๐ฆ = โช ๐ฅ โ ๐ต ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) ) ) |
25 |
24
|
biimpac |
โข ( ( ( ๐ด ยทo ๐ต ) = โช ๐ฅ โ ๐ต ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) โง ( ๐ด ยทo ๐ต ) = suc ๐ฆ ) โ suc ๐ฆ = โช ๐ฅ โ ๐ต ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) ) |
26 |
23 25
|
sylan |
โข ( ( ( ๐ด โ On โง ( ๐ต โ ๐ถ โง Lim ๐ต ) ) โง ( ๐ด ยทo ๐ต ) = suc ๐ฆ ) โ suc ๐ฆ = โช ๐ฅ โ ๐ต ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) ) |
27 |
22 26
|
eleqtrid |
โข ( ( ( ๐ด โ On โง ( ๐ต โ ๐ถ โง Lim ๐ต ) ) โง ( ๐ด ยทo ๐ต ) = suc ๐ฆ ) โ ๐ฆ โ โช ๐ฅ โ ๐ต ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) ) |
28 |
|
eliun |
โข ( ๐ฆ โ โช ๐ฅ โ ๐ต ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) โ โ ๐ฅ โ ๐ต ๐ฆ โ ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) ) |
29 |
27 28
|
sylib |
โข ( ( ( ๐ด โ On โง ( ๐ต โ ๐ถ โง Lim ๐ต ) ) โง ( ๐ด ยทo ๐ต ) = suc ๐ฆ ) โ โ ๐ฅ โ ๐ต ๐ฆ โ ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) ) |
30 |
29
|
adantlr |
โข ( ( ( ( ๐ด โ On โง ( ๐ต โ ๐ถ โง Lim ๐ต ) ) โง โ
โ ๐ด ) โง ( ๐ด ยทo ๐ต ) = suc ๐ฆ ) โ โ ๐ฅ โ ๐ต ๐ฆ โ ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) ) |
31 |
|
onelon |
โข ( ( ๐ต โ On โง ๐ฅ โ ๐ต ) โ ๐ฅ โ On ) |
32 |
1 31
|
sylan |
โข ( ( ( ๐ต โ ๐ถ โง Lim ๐ต ) โง ๐ฅ โ ๐ต ) โ ๐ฅ โ On ) |
33 |
|
onnbtwn |
โข ( ๐ฅ โ On โ ยฌ ( ๐ฅ โ ๐ต โง ๐ต โ suc ๐ฅ ) ) |
34 |
|
imnan |
โข ( ( ๐ฅ โ ๐ต โ ยฌ ๐ต โ suc ๐ฅ ) โ ยฌ ( ๐ฅ โ ๐ต โง ๐ต โ suc ๐ฅ ) ) |
35 |
33 34
|
sylibr |
โข ( ๐ฅ โ On โ ( ๐ฅ โ ๐ต โ ยฌ ๐ต โ suc ๐ฅ ) ) |
36 |
35
|
com12 |
โข ( ๐ฅ โ ๐ต โ ( ๐ฅ โ On โ ยฌ ๐ต โ suc ๐ฅ ) ) |
37 |
36
|
adantl |
โข ( ( ( ๐ต โ ๐ถ โง Lim ๐ต ) โง ๐ฅ โ ๐ต ) โ ( ๐ฅ โ On โ ยฌ ๐ต โ suc ๐ฅ ) ) |
38 |
32 37
|
mpd |
โข ( ( ( ๐ต โ ๐ถ โง Lim ๐ต ) โง ๐ฅ โ ๐ต ) โ ยฌ ๐ต โ suc ๐ฅ ) |
39 |
38
|
ad5ant24 |
โข ( ( ( ( ( ๐ด โ On โง ( ๐ต โ ๐ถ โง Lim ๐ต ) ) โง โ
โ ๐ด ) โง ๐ฅ โ ๐ต ) โง ๐ฆ โ ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) ) โ ยฌ ๐ต โ suc ๐ฅ ) |
40 |
|
simpl |
โข ( ( ๐ต โ On โง ๐ฅ โ ๐ต ) โ ๐ต โ On ) |
41 |
40 31
|
jca |
โข ( ( ๐ต โ On โง ๐ฅ โ ๐ต ) โ ( ๐ต โ On โง ๐ฅ โ On ) ) |
42 |
1 41
|
sylan |
โข ( ( ( ๐ต โ ๐ถ โง Lim ๐ต ) โง ๐ฅ โ ๐ต ) โ ( ๐ต โ On โง ๐ฅ โ On ) ) |
43 |
42
|
anim2i |
โข ( ( ๐ด โ On โง ( ( ๐ต โ ๐ถ โง Lim ๐ต ) โง ๐ฅ โ ๐ต ) ) โ ( ๐ด โ On โง ( ๐ต โ On โง ๐ฅ โ On ) ) ) |
44 |
43
|
anassrs |
โข ( ( ( ๐ด โ On โง ( ๐ต โ ๐ถ โง Lim ๐ต ) ) โง ๐ฅ โ ๐ต ) โ ( ๐ด โ On โง ( ๐ต โ On โง ๐ฅ โ On ) ) ) |
45 |
|
omcl |
โข ( ( ๐ด โ On โง ๐ฅ โ On ) โ ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) โ On ) |
46 |
|
eloni |
โข ( ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) โ On โ Ord ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) ) |
47 |
|
ordsucelsuc |
โข ( Ord ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) โ ( ๐ฆ โ ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) โ suc ๐ฆ โ suc ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) ) ) |
48 |
46 47
|
syl |
โข ( ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) โ On โ ( ๐ฆ โ ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) โ suc ๐ฆ โ suc ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) ) ) |
49 |
|
oa1suc |
โข ( ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) โ On โ ( ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) +o 1o ) = suc ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) ) |
50 |
49
|
eleq2d |
โข ( ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) โ On โ ( suc ๐ฆ โ ( ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) +o 1o ) โ suc ๐ฆ โ suc ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) ) ) |
51 |
48 50
|
bitr4d |
โข ( ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) โ On โ ( ๐ฆ โ ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) โ suc ๐ฆ โ ( ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) +o 1o ) ) ) |
52 |
45 51
|
syl |
โข ( ( ๐ด โ On โง ๐ฅ โ On ) โ ( ๐ฆ โ ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) โ suc ๐ฆ โ ( ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) +o 1o ) ) ) |
53 |
52
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ด โ On โง ๐ฅ โ On ) โง โ
โ ๐ด ) โ ( ๐ฆ โ ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) โ suc ๐ฆ โ ( ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) +o 1o ) ) ) |
54 |
|
eloni |
โข ( ๐ด โ On โ Ord ๐ด ) |
55 |
|
ordgt0ge1 |
โข ( Ord ๐ด โ ( โ
โ ๐ด โ 1o โ ๐ด ) ) |
56 |
54 55
|
syl |
โข ( ๐ด โ On โ ( โ
โ ๐ด โ 1o โ ๐ด ) ) |
57 |
56
|
adantr |
โข ( ( ๐ด โ On โง ๐ฅ โ On ) โ ( โ
โ ๐ด โ 1o โ ๐ด ) ) |
58 |
|
1on |
โข 1o โ On |
59 |
|
oaword |
โข ( ( 1o โ On โง ๐ด โ On โง ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) โ On ) โ ( 1o โ ๐ด โ ( ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) +o 1o ) โ ( ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) +o ๐ด ) ) ) |
60 |
58 59
|
mp3an1 |
โข ( ( ๐ด โ On โง ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) โ On ) โ ( 1o โ ๐ด โ ( ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) +o 1o ) โ ( ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) +o ๐ด ) ) ) |
61 |
45 60
|
syldan |
โข ( ( ๐ด โ On โง ๐ฅ โ On ) โ ( 1o โ ๐ด โ ( ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) +o 1o ) โ ( ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) +o ๐ด ) ) ) |
62 |
57 61
|
bitrd |
โข ( ( ๐ด โ On โง ๐ฅ โ On ) โ ( โ
โ ๐ด โ ( ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) +o 1o ) โ ( ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) +o ๐ด ) ) ) |
63 |
62
|
biimpa |
โข ( ( ( ๐ด โ On โง ๐ฅ โ On ) โง โ
โ ๐ด ) โ ( ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) +o 1o ) โ ( ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) +o ๐ด ) ) |
64 |
|
omsuc |
โข ( ( ๐ด โ On โง ๐ฅ โ On ) โ ( ๐ด ยทo suc ๐ฅ ) = ( ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) +o ๐ด ) ) |
65 |
64
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ด โ On โง ๐ฅ โ On ) โง โ
โ ๐ด ) โ ( ๐ด ยทo suc ๐ฅ ) = ( ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) +o ๐ด ) ) |
66 |
63 65
|
sseqtrrd |
โข ( ( ( ๐ด โ On โง ๐ฅ โ On ) โง โ
โ ๐ด ) โ ( ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) +o 1o ) โ ( ๐ด ยทo suc ๐ฅ ) ) |
67 |
66
|
sseld |
โข ( ( ( ๐ด โ On โง ๐ฅ โ On ) โง โ
โ ๐ด ) โ ( suc ๐ฆ โ ( ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) +o 1o ) โ suc ๐ฆ โ ( ๐ด ยทo suc ๐ฅ ) ) ) |
68 |
53 67
|
sylbid |
โข ( ( ( ๐ด โ On โง ๐ฅ โ On ) โง โ
โ ๐ด ) โ ( ๐ฆ โ ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) โ suc ๐ฆ โ ( ๐ด ยทo suc ๐ฅ ) ) ) |
69 |
|
eleq1 |
โข ( ( ๐ด ยทo ๐ต ) = suc ๐ฆ โ ( ( ๐ด ยทo ๐ต ) โ ( ๐ด ยทo suc ๐ฅ ) โ suc ๐ฆ โ ( ๐ด ยทo suc ๐ฅ ) ) ) |
70 |
69
|
biimprd |
โข ( ( ๐ด ยทo ๐ต ) = suc ๐ฆ โ ( suc ๐ฆ โ ( ๐ด ยทo suc ๐ฅ ) โ ( ๐ด ยทo ๐ต ) โ ( ๐ด ยทo suc ๐ฅ ) ) ) |
71 |
68 70
|
syl9 |
โข ( ( ( ๐ด โ On โง ๐ฅ โ On ) โง โ
โ ๐ด ) โ ( ( ๐ด ยทo ๐ต ) = suc ๐ฆ โ ( ๐ฆ โ ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) โ ( ๐ด ยทo ๐ต ) โ ( ๐ด ยทo suc ๐ฅ ) ) ) ) |
72 |
71
|
com23 |
โข ( ( ( ๐ด โ On โง ๐ฅ โ On ) โง โ
โ ๐ด ) โ ( ๐ฆ โ ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) โ ( ( ๐ด ยทo ๐ต ) = suc ๐ฆ โ ( ๐ด ยทo ๐ต ) โ ( ๐ด ยทo suc ๐ฅ ) ) ) ) |
73 |
72
|
adantlrl |
โข ( ( ( ๐ด โ On โง ( ๐ต โ On โง ๐ฅ โ On ) ) โง โ
โ ๐ด ) โ ( ๐ฆ โ ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) โ ( ( ๐ด ยทo ๐ต ) = suc ๐ฆ โ ( ๐ด ยทo ๐ต ) โ ( ๐ด ยทo suc ๐ฅ ) ) ) ) |
74 |
|
sucelon |
โข ( ๐ฅ โ On โ suc ๐ฅ โ On ) |
75 |
|
omord |
โข ( ( ๐ต โ On โง suc ๐ฅ โ On โง ๐ด โ On ) โ ( ( ๐ต โ suc ๐ฅ โง โ
โ ๐ด ) โ ( ๐ด ยทo ๐ต ) โ ( ๐ด ยทo suc ๐ฅ ) ) ) |
76 |
|
simpl |
โข ( ( ๐ต โ suc ๐ฅ โง โ
โ ๐ด ) โ ๐ต โ suc ๐ฅ ) |
77 |
75 76
|
syl6bir |
โข ( ( ๐ต โ On โง suc ๐ฅ โ On โง ๐ด โ On ) โ ( ( ๐ด ยทo ๐ต ) โ ( ๐ด ยทo suc ๐ฅ ) โ ๐ต โ suc ๐ฅ ) ) |
78 |
74 77
|
syl3an2b |
โข ( ( ๐ต โ On โง ๐ฅ โ On โง ๐ด โ On ) โ ( ( ๐ด ยทo ๐ต ) โ ( ๐ด ยทo suc ๐ฅ ) โ ๐ต โ suc ๐ฅ ) ) |
79 |
78
|
3comr |
โข ( ( ๐ด โ On โง ๐ต โ On โง ๐ฅ โ On ) โ ( ( ๐ด ยทo ๐ต ) โ ( ๐ด ยทo suc ๐ฅ ) โ ๐ต โ suc ๐ฅ ) ) |
80 |
79
|
3expb |
โข ( ( ๐ด โ On โง ( ๐ต โ On โง ๐ฅ โ On ) ) โ ( ( ๐ด ยทo ๐ต ) โ ( ๐ด ยทo suc ๐ฅ ) โ ๐ต โ suc ๐ฅ ) ) |
81 |
80
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ด โ On โง ( ๐ต โ On โง ๐ฅ โ On ) ) โง โ
โ ๐ด ) โ ( ( ๐ด ยทo ๐ต ) โ ( ๐ด ยทo suc ๐ฅ ) โ ๐ต โ suc ๐ฅ ) ) |
82 |
73 81
|
syl6d |
โข ( ( ( ๐ด โ On โง ( ๐ต โ On โง ๐ฅ โ On ) ) โง โ
โ ๐ด ) โ ( ๐ฆ โ ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) โ ( ( ๐ด ยทo ๐ต ) = suc ๐ฆ โ ๐ต โ suc ๐ฅ ) ) ) |
83 |
44 82
|
sylan |
โข ( ( ( ( ๐ด โ On โง ( ๐ต โ ๐ถ โง Lim ๐ต ) ) โง ๐ฅ โ ๐ต ) โง โ
โ ๐ด ) โ ( ๐ฆ โ ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) โ ( ( ๐ด ยทo ๐ต ) = suc ๐ฆ โ ๐ต โ suc ๐ฅ ) ) ) |
84 |
83
|
an32s |
โข ( ( ( ( ๐ด โ On โง ( ๐ต โ ๐ถ โง Lim ๐ต ) ) โง โ
โ ๐ด ) โง ๐ฅ โ ๐ต ) โ ( ๐ฆ โ ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) โ ( ( ๐ด ยทo ๐ต ) = suc ๐ฆ โ ๐ต โ suc ๐ฅ ) ) ) |
85 |
84
|
imp |
โข ( ( ( ( ( ๐ด โ On โง ( ๐ต โ ๐ถ โง Lim ๐ต ) ) โง โ
โ ๐ด ) โง ๐ฅ โ ๐ต ) โง ๐ฆ โ ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) ) โ ( ( ๐ด ยทo ๐ต ) = suc ๐ฆ โ ๐ต โ suc ๐ฅ ) ) |
86 |
39 85
|
mtod |
โข ( ( ( ( ( ๐ด โ On โง ( ๐ต โ ๐ถ โง Lim ๐ต ) ) โง โ
โ ๐ด ) โง ๐ฅ โ ๐ต ) โง ๐ฆ โ ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) ) โ ยฌ ( ๐ด ยทo ๐ต ) = suc ๐ฆ ) |
87 |
86
|
rexlimdva2 |
โข ( ( ( ๐ด โ On โง ( ๐ต โ ๐ถ โง Lim ๐ต ) ) โง โ
โ ๐ด ) โ ( โ ๐ฅ โ ๐ต ๐ฆ โ ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) โ ยฌ ( ๐ด ยทo ๐ต ) = suc ๐ฆ ) ) |
88 |
87
|
adantr |
โข ( ( ( ( ๐ด โ On โง ( ๐ต โ ๐ถ โง Lim ๐ต ) ) โง โ
โ ๐ด ) โง ( ๐ด ยทo ๐ต ) = suc ๐ฆ ) โ ( โ ๐ฅ โ ๐ต ๐ฆ โ ( ๐ด ยทo ๐ฅ ) โ ยฌ ( ๐ด ยทo ๐ต ) = suc ๐ฆ ) ) |
89 |
30 88
|
mpd |
โข ( ( ( ( ๐ด โ On โง ( ๐ต โ ๐ถ โง Lim ๐ต ) ) โง โ
โ ๐ด ) โง ( ๐ด ยทo ๐ต ) = suc ๐ฆ ) โ ยฌ ( ๐ด ยทo ๐ต ) = suc ๐ฆ ) |
90 |
89
|
pm2.01da |
โข ( ( ( ๐ด โ On โง ( ๐ต โ ๐ถ โง Lim ๐ต ) ) โง โ
โ ๐ด ) โ ยฌ ( ๐ด ยทo ๐ต ) = suc ๐ฆ ) |
91 |
90
|
adantr |
โข ( ( ( ( ๐ด โ On โง ( ๐ต โ ๐ถ โง Lim ๐ต ) ) โง โ
โ ๐ด ) โง ๐ฆ โ On ) โ ยฌ ( ๐ด ยทo ๐ต ) = suc ๐ฆ ) |
92 |
91
|
nrexdv |
โข ( ( ( ๐ด โ On โง ( ๐ต โ ๐ถ โง Lim ๐ต ) ) โง โ
โ ๐ด ) โ ยฌ โ ๐ฆ โ On ( ๐ด ยทo ๐ต ) = suc ๐ฆ ) |
93 |
|
ioran |
โข ( ยฌ ( ( ๐ด ยทo ๐ต ) = โ
โจ โ ๐ฆ โ On ( ๐ด ยทo ๐ต ) = suc ๐ฆ ) โ ( ยฌ ( ๐ด ยทo ๐ต ) = โ
โง ยฌ โ ๐ฆ โ On ( ๐ด ยทo ๐ต ) = suc ๐ฆ ) ) |
94 |
20 92 93
|
sylanbrc |
โข ( ( ( ๐ด โ On โง ( ๐ต โ ๐ถ โง Lim ๐ต ) ) โง โ
โ ๐ด ) โ ยฌ ( ( ๐ด ยทo ๐ต ) = โ
โจ โ ๐ฆ โ On ( ๐ด ยทo ๐ต ) = suc ๐ฆ ) ) |
95 |
|
dflim3 |
โข ( Lim ( ๐ด ยทo ๐ต ) โ ( Ord ( ๐ด ยทo ๐ต ) โง ยฌ ( ( ๐ด ยทo ๐ต ) = โ
โจ โ ๐ฆ โ On ( ๐ด ยทo ๐ต ) = suc ๐ฆ ) ) ) |
96 |
6 94 95
|
sylanbrc |
โข ( ( ( ๐ด โ On โง ( ๐ต โ ๐ถ โง Lim ๐ต ) ) โง โ
โ ๐ด ) โ Lim ( ๐ด ยทo ๐ต ) ) |