Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
peano2 |
โข ( ๐ต โ ฯ โ suc ๐ต โ ฯ ) |
2 |
|
nnon |
โข ( suc ๐ต โ ฯ โ suc ๐ต โ On ) |
3 |
1 2
|
syl |
โข ( ๐ต โ ฯ โ suc ๐ต โ On ) |
4 |
|
omv |
โข ( ( ๐ด โ On โง suc ๐ต โ On ) โ ( ๐ด ยทo suc ๐ต ) = ( rec ( ( ๐ฅ โ V โฆ ( ๐ฅ +o ๐ด ) ) , โ
) โ suc ๐ต ) ) |
5 |
3 4
|
sylan2 |
โข ( ( ๐ด โ On โง ๐ต โ ฯ ) โ ( ๐ด ยทo suc ๐ต ) = ( rec ( ( ๐ฅ โ V โฆ ( ๐ฅ +o ๐ด ) ) , โ
) โ suc ๐ต ) ) |
6 |
1
|
adantl |
โข ( ( ๐ด โ On โง ๐ต โ ฯ ) โ suc ๐ต โ ฯ ) |
7 |
6
|
fvresd |
โข ( ( ๐ด โ On โง ๐ต โ ฯ ) โ ( ( rec ( ( ๐ฅ โ V โฆ ( ๐ฅ +o ๐ด ) ) , โ
) โพ ฯ ) โ suc ๐ต ) = ( rec ( ( ๐ฅ โ V โฆ ( ๐ฅ +o ๐ด ) ) , โ
) โ suc ๐ต ) ) |
8 |
5 7
|
eqtr4d |
โข ( ( ๐ด โ On โง ๐ต โ ฯ ) โ ( ๐ด ยทo suc ๐ต ) = ( ( rec ( ( ๐ฅ โ V โฆ ( ๐ฅ +o ๐ด ) ) , โ
) โพ ฯ ) โ suc ๐ต ) ) |
9 |
|
ovex |
โข ( ๐ด ยทo ๐ต ) โ V |
10 |
|
oveq1 |
โข ( ๐ฅ = ( ๐ด ยทo ๐ต ) โ ( ๐ฅ +o ๐ด ) = ( ( ๐ด ยทo ๐ต ) +o ๐ด ) ) |
11 |
|
eqid |
โข ( ๐ฅ โ V โฆ ( ๐ฅ +o ๐ด ) ) = ( ๐ฅ โ V โฆ ( ๐ฅ +o ๐ด ) ) |
12 |
|
ovex |
โข ( ( ๐ด ยทo ๐ต ) +o ๐ด ) โ V |
13 |
10 11 12
|
fvmpt |
โข ( ( ๐ด ยทo ๐ต ) โ V โ ( ( ๐ฅ โ V โฆ ( ๐ฅ +o ๐ด ) ) โ ( ๐ด ยทo ๐ต ) ) = ( ( ๐ด ยทo ๐ต ) +o ๐ด ) ) |
14 |
9 13
|
ax-mp |
โข ( ( ๐ฅ โ V โฆ ( ๐ฅ +o ๐ด ) ) โ ( ๐ด ยทo ๐ต ) ) = ( ( ๐ด ยทo ๐ต ) +o ๐ด ) |
15 |
|
nnon |
โข ( ๐ต โ ฯ โ ๐ต โ On ) |
16 |
|
omv |
โข ( ( ๐ด โ On โง ๐ต โ On ) โ ( ๐ด ยทo ๐ต ) = ( rec ( ( ๐ฅ โ V โฆ ( ๐ฅ +o ๐ด ) ) , โ
) โ ๐ต ) ) |
17 |
15 16
|
sylan2 |
โข ( ( ๐ด โ On โง ๐ต โ ฯ ) โ ( ๐ด ยทo ๐ต ) = ( rec ( ( ๐ฅ โ V โฆ ( ๐ฅ +o ๐ด ) ) , โ
) โ ๐ต ) ) |
18 |
|
fvres |
โข ( ๐ต โ ฯ โ ( ( rec ( ( ๐ฅ โ V โฆ ( ๐ฅ +o ๐ด ) ) , โ
) โพ ฯ ) โ ๐ต ) = ( rec ( ( ๐ฅ โ V โฆ ( ๐ฅ +o ๐ด ) ) , โ
) โ ๐ต ) ) |
19 |
18
|
adantl |
โข ( ( ๐ด โ On โง ๐ต โ ฯ ) โ ( ( rec ( ( ๐ฅ โ V โฆ ( ๐ฅ +o ๐ด ) ) , โ
) โพ ฯ ) โ ๐ต ) = ( rec ( ( ๐ฅ โ V โฆ ( ๐ฅ +o ๐ด ) ) , โ
) โ ๐ต ) ) |
20 |
17 19
|
eqtr4d |
โข ( ( ๐ด โ On โง ๐ต โ ฯ ) โ ( ๐ด ยทo ๐ต ) = ( ( rec ( ( ๐ฅ โ V โฆ ( ๐ฅ +o ๐ด ) ) , โ
) โพ ฯ ) โ ๐ต ) ) |
21 |
20
|
fveq2d |
โข ( ( ๐ด โ On โง ๐ต โ ฯ ) โ ( ( ๐ฅ โ V โฆ ( ๐ฅ +o ๐ด ) ) โ ( ๐ด ยทo ๐ต ) ) = ( ( ๐ฅ โ V โฆ ( ๐ฅ +o ๐ด ) ) โ ( ( rec ( ( ๐ฅ โ V โฆ ( ๐ฅ +o ๐ด ) ) , โ
) โพ ฯ ) โ ๐ต ) ) ) |
22 |
14 21
|
eqtr3id |
โข ( ( ๐ด โ On โง ๐ต โ ฯ ) โ ( ( ๐ด ยทo ๐ต ) +o ๐ด ) = ( ( ๐ฅ โ V โฆ ( ๐ฅ +o ๐ด ) ) โ ( ( rec ( ( ๐ฅ โ V โฆ ( ๐ฅ +o ๐ด ) ) , โ
) โพ ฯ ) โ ๐ต ) ) ) |
23 |
|
frsuc |
โข ( ๐ต โ ฯ โ ( ( rec ( ( ๐ฅ โ V โฆ ( ๐ฅ +o ๐ด ) ) , โ
) โพ ฯ ) โ suc ๐ต ) = ( ( ๐ฅ โ V โฆ ( ๐ฅ +o ๐ด ) ) โ ( ( rec ( ( ๐ฅ โ V โฆ ( ๐ฅ +o ๐ด ) ) , โ
) โพ ฯ ) โ ๐ต ) ) ) |
24 |
23
|
adantl |
โข ( ( ๐ด โ On โง ๐ต โ ฯ ) โ ( ( rec ( ( ๐ฅ โ V โฆ ( ๐ฅ +o ๐ด ) ) , โ
) โพ ฯ ) โ suc ๐ต ) = ( ( ๐ฅ โ V โฆ ( ๐ฅ +o ๐ด ) ) โ ( ( rec ( ( ๐ฅ โ V โฆ ( ๐ฅ +o ๐ด ) ) , โ
) โพ ฯ ) โ ๐ต ) ) ) |
25 |
22 24
|
eqtr4d |
โข ( ( ๐ด โ On โง ๐ต โ ฯ ) โ ( ( ๐ด ยทo ๐ต ) +o ๐ด ) = ( ( rec ( ( ๐ฅ โ V โฆ ( ๐ฅ +o ๐ด ) ) , โ
) โพ ฯ ) โ suc ๐ต ) ) |
26 |
8 25
|
eqtr4d |
โข ( ( ๐ด โ On โง ๐ต โ ฯ ) โ ( ๐ด ยทo suc ๐ต ) = ( ( ๐ด ยทo ๐ต ) +o ๐ด ) ) |