Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
opabiota.1 |
⊢ 𝐹 = { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ { 𝑦 ∣ 𝜑 } = { 𝑦 } } |
2 |
|
funopab |
⊢ ( Fun { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ { 𝑦 ∣ 𝜑 } = { 𝑦 } } ↔ ∀ 𝑥 ∃* 𝑦 { 𝑦 ∣ 𝜑 } = { 𝑦 } ) |
3 |
|
mo2icl |
⊢ ( ∀ 𝑧 ( { 𝑦 ∣ 𝜑 } = { 𝑧 } → 𝑧 = ∪ { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) → ∃* 𝑧 { 𝑦 ∣ 𝜑 } = { 𝑧 } ) |
4 |
|
unieq |
⊢ ( { 𝑦 ∣ 𝜑 } = { 𝑧 } → ∪ { 𝑦 ∣ 𝜑 } = ∪ { 𝑧 } ) |
5 |
|
unisnv |
⊢ ∪ { 𝑧 } = 𝑧 |
6 |
4 5
|
eqtr2di |
⊢ ( { 𝑦 ∣ 𝜑 } = { 𝑧 } → 𝑧 = ∪ { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) |
7 |
3 6
|
mpg |
⊢ ∃* 𝑧 { 𝑦 ∣ 𝜑 } = { 𝑧 } |
8 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑧 { 𝑦 ∣ 𝜑 } = { 𝑦 } |
9 |
|
nfab1 |
⊢ Ⅎ 𝑦 { 𝑦 ∣ 𝜑 } |
10 |
9
|
nfeq1 |
⊢ Ⅎ 𝑦 { 𝑦 ∣ 𝜑 } = { 𝑧 } |
11 |
|
sneq |
⊢ ( 𝑦 = 𝑧 → { 𝑦 } = { 𝑧 } ) |
12 |
11
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑧 → ( { 𝑦 ∣ 𝜑 } = { 𝑦 } ↔ { 𝑦 ∣ 𝜑 } = { 𝑧 } ) ) |
13 |
8 10 12
|
cbvmow |
⊢ ( ∃* 𝑦 { 𝑦 ∣ 𝜑 } = { 𝑦 } ↔ ∃* 𝑧 { 𝑦 ∣ 𝜑 } = { 𝑧 } ) |
14 |
7 13
|
mpbir |
⊢ ∃* 𝑦 { 𝑦 ∣ 𝜑 } = { 𝑦 } |
15 |
2 14
|
mpgbir |
⊢ Fun { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ { 𝑦 ∣ 𝜑 } = { 𝑦 } } |
16 |
1
|
funeqi |
⊢ ( Fun 𝐹 ↔ Fun { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ { 𝑦 ∣ 𝜑 } = { 𝑦 } } ) |
17 |
15 16
|
mpbir |
⊢ Fun 𝐹 |