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Theorem opphllem

Description: Lemma 8.24 of Schwabhauser p. 66. This is used later for mideulem and later for opphl . (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Dec-2019)

Ref Expression
Hypotheses colperpex.p ⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
colperpex.d ⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 )
colperpex.i ⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
colperpex.l ⊢ 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 )
colperpex.g ⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
mideu.s ⊢ 𝑆 = ( pInvG ‘ 𝐺 )
mideu.1 ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 )
mideu.2 ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃 )
mideulem.1 ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵 )
mideulem.2 ⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃 )
mideulem.3 ⊢ ( 𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑃 )
mideulem.4 ⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃 )
mideulem.5 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) ( 𝑄 𝐿 𝐵 ) )
mideulem.6 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) ( 𝐴 𝐿 𝑂 ) )
mideulem.7 ⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) )
mideulem.8 ⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ( 𝑄 𝐼 𝑂 ) )
opphllem.1 ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑃 )
opphllem.2 ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑄 ) )
opphllem.3 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − 𝑂 ) = ( 𝐵 − 𝑅 ) )
Assertion opphllem ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ( 𝐵 = ( ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑂 = ( ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑅 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 colperpex.p ⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
2 colperpex.d ⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 )
3 colperpex.i ⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
4 colperpex.l ⊢ 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 )
5 colperpex.g ⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
6 mideu.s ⊢ 𝑆 = ( pInvG ‘ 𝐺 )
7 mideu.1 ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 )
8 mideu.2 ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃 )
9 mideulem.1 ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵 )
10 mideulem.2 ⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃 )
11 mideulem.3 ⊢ ( 𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑃 )
12 mideulem.4 ⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃 )
13 mideulem.5 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) ( 𝑄 𝐿 𝐵 ) )
14 mideulem.6 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) ( 𝐴 𝐿 𝑂 ) )
15 mideulem.7 ⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) )
16 mideulem.8 ⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ( 𝑄 𝐼 𝑂 ) )
17 opphllem.1 ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑃 )
18 opphllem.2 ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑄 ) )
19 opphllem.3 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − 𝑂 ) = ( 𝐵 − 𝑅 ) )
20 5 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
21 eqid ⊢ ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑆 ‘ 𝑥 )
22 8 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → 𝐵 ∈ 𝑃 )
23 11 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → 𝑂 ∈ 𝑃 )
24 7 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → 𝐴 ∈ 𝑃 )
25 17 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → 𝑅 ∈ 𝑃 )
26 simprl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝑃 )
27 9 necomd ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴 )
28 27 neneqd ⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝐵 = 𝐴 )
29 28 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑂 ∈ ( 𝐵 𝐿 𝐴 ) ) → ¬ 𝐵 = 𝐴 )
30 4 5 14 perpln2 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 𝐿 𝑂 ) ∈ ran 𝐿 )
31 1 3 4 5 7 11 30 tglnne ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ≠ 𝑂 )
32 31 necomd ⊢ ( 𝜑 → 𝑂 ≠ 𝐴 )
33 32 neneqd ⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝑂 = 𝐴 )
34 33 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑂 ∈ ( 𝐵 𝐿 𝐴 ) ) → ¬ 𝑂 = 𝐴 )
35 29 34 jca ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑂 ∈ ( 𝐵 𝐿 𝐴 ) ) → ( ¬ 𝐵 = 𝐴 ∧ ¬ 𝑂 = 𝐴 ) )
36 5 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑂 ∈ ( 𝐵 𝐿 𝐴 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
37 8 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑂 ∈ ( 𝐵 𝐿 𝐴 ) ) → 𝐵 ∈ 𝑃 )
38 7 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑂 ∈ ( 𝐵 𝐿 𝐴 ) ) → 𝐴 ∈ 𝑃 )
39 11 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑂 ∈ ( 𝐵 𝐿 𝐴 ) ) → 𝑂 ∈ 𝑃 )
40 1 3 4 5 8 7 27 tglinerflx2 ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐿 𝐴 ) )
41 1 3 4 5 7 8 9 tglinecom ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) = ( 𝐵 𝐿 𝐴 ) )
42 41 14 eqbrtrrd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 𝐿 𝐴 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) ( 𝐴 𝐿 𝑂 ) )
43 1 2 3 4 5 8 7 40 11 42 perprag ⊢ ( 𝜑 → ⟨“ 𝐵 𝐴 𝑂 ”⟩ ∈ ( ∟G ‘ 𝐺 ) )
44 43 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑂 ∈ ( 𝐵 𝐿 𝐴 ) ) → ⟨“ 𝐵 𝐴 𝑂 ”⟩ ∈ ( ∟G ‘ 𝐺 ) )
45 simpr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑂 ∈ ( 𝐵 𝐿 𝐴 ) ) → 𝑂 ∈ ( 𝐵 𝐿 𝐴 ) )
46 45 orcd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑂 ∈ ( 𝐵 𝐿 𝐴 ) ) → ( 𝑂 ∈ ( 𝐵 𝐿 𝐴 ) ∨ 𝐵 = 𝐴 ) )
47 1 2 3 4 6 36 37 38 39 44 46 ragflat3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑂 ∈ ( 𝐵 𝐿 𝐴 ) ) → ( 𝐵 = 𝐴 ∨ 𝑂 = 𝐴 ) )
48 oran ⊢ ( ( 𝐵 = 𝐴 ∨ 𝑂 = 𝐴 ) ↔ ¬ ( ¬ 𝐵 = 𝐴 ∧ ¬ 𝑂 = 𝐴 ) )
49 47 48 sylib ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑂 ∈ ( 𝐵 𝐿 𝐴 ) ) → ¬ ( ¬ 𝐵 = 𝐴 ∧ ¬ 𝑂 = 𝐴 ) )
50 35 49 pm2.65da ⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝑂 ∈ ( 𝐵 𝐿 𝐴 ) )
51 50 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → ¬ 𝑂 ∈ ( 𝐵 𝐿 𝐴 ) )
52 41 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) = ( 𝐵 𝐿 𝐴 ) )
53 51 52 neleqtrrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → ¬ 𝑂 ∈ ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) )
54 9 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → 𝐴 ≠ 𝐵 )
55 54 neneqd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → ¬ 𝐴 = 𝐵 )
56 53 55 jca ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → ( ¬ 𝑂 ∈ ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵 ) )
57 pm4.56 ⊢ ( ( ¬ 𝑂 ∈ ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵 ) ↔ ¬ ( 𝑂 ∈ ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) ∨ 𝐴 = 𝐵 ) )
58 56 57 sylib ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → ¬ ( 𝑂 ∈ ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) ∨ 𝐴 = 𝐵 ) )
59 1 4 3 20 24 22 23 58 ncolrot2 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → ¬ ( 𝐵 ∈ ( 𝑂 𝐿 𝐴 ) ∨ 𝑂 = 𝐴 ) )
60 simprrr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) )
61 1 2 3 20 25 26 23 60 tgbtwncom ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑂 𝐼 𝑅 ) )
62 12 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → 𝑇 ∈ 𝑃 )
63 15 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → 𝑇 ∈ ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) )
64 simprrl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) )
65 1 3 4 20 62 24 22 26 63 64 coltr3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) )
66 50 41 neleqtrrd ⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝑂 ∈ ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) )
67 66 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → ¬ 𝑂 ∈ ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) )
68 nelne2 ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) ∧ ¬ 𝑂 ∈ ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) ) → 𝑥 ≠ 𝑂 )
69 65 67 68 syl2anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → 𝑥 ≠ 𝑂 )
70 1 2 3 20 23 26 25 61 69 tgbtwnne ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → 𝑂 ≠ 𝑅 )
71 1 2 3 4 6 5 8 7 11 israg ⊢ ( 𝜑 → ( ⟨“ 𝐵 𝐴 𝑂 ”⟩ ∈ ( ∟G ‘ 𝐺 ) ↔ ( 𝐵 − 𝑂 ) = ( 𝐵 − ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) ) ) )
72 43 71 mpbid ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝑂 ) = ( 𝐵 − ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) ) )
73 72 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → ( 𝐵 − 𝑂 ) = ( 𝐵 − ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) ) )
74 5 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
75 eqid ⊢ ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) = ( 𝑆 ‘ 𝐴 )
76 1 2 3 4 6 20 24 75 23 mircl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) ∈ 𝑃 )
77 76 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) ∈ 𝑃 )
78 7 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → 𝐴 ∈ 𝑃 )
79 11 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → 𝑂 ∈ 𝑃 )
80 17 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → 𝑅 ∈ 𝑃 )
81 8 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → 𝐵 ∈ 𝑃 )
82 simplr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → 𝑠 ∈ 𝑃 )
83 1 2 3 4 6 74 78 75 79 mirbtwn ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → 𝐴 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑂 ) )
84 eqid ⊢ ( 𝑆 ‘ 𝐵 ) = ( 𝑆 ‘ 𝐵 )
85 1 2 3 4 6 74 81 84 82 mirbtwn ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → 𝐵 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝑠 ) 𝐼 𝑠 ) )
86 simpr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑅 = ( ( 𝑆 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) → 𝑅 = ( ( 𝑆 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) )
87 74 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑅 = ( ( 𝑆 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
88 78 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑅 = ( ( 𝑆 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) → 𝐴 ∈ 𝑃 )
89 81 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑅 = ( ( 𝑆 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) → 𝐵 ∈ 𝑃 )
90 54 ad4antr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑅 = ( ( 𝑆 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) → 𝐴 ≠ 𝐵 )
91 10 ad5antr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑅 = ( ( 𝑆 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) → 𝑄 ∈ 𝑃 )
92 79 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑅 = ( ( 𝑆 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) → 𝑂 ∈ 𝑃 )
93 62 ad4antr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑅 = ( ( 𝑆 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) → 𝑇 ∈ 𝑃 )
94 13 ad5antr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑅 = ( ( 𝑆 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) → ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) ( 𝑄 𝐿 𝐵 ) )
95 14 ad5antr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑅 = ( ( 𝑆 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) → ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) ( 𝐴 𝐿 𝑂 ) )
96 63 ad4antr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑅 = ( ( 𝑆 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) → 𝑇 ∈ ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) )
97 16 ad5antr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑅 = ( ( 𝑆 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) → 𝑇 ∈ ( 𝑄 𝐼 𝑂 ) )
98 80 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑅 = ( ( 𝑆 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) → 𝑅 ∈ 𝑃 )
99 18 ad5antr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑅 = ( ( 𝑆 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) → 𝑅 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑄 ) )
100 19 ad5antr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑅 = ( ( 𝑆 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) → ( 𝐴 − 𝑂 ) = ( 𝐵 − 𝑅 ) )
101 26 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝑃 )
102 101 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑅 = ( ( 𝑆 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) → 𝑥 ∈ 𝑃 )
103 simp-5r ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑅 = ( ( 𝑆 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) )
104 103 simprd ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑅 = ( ( 𝑆 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) )
105 104 simpld ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑅 = ( ( 𝑆 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) )
106 104 simprd ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑅 = ( ( 𝑆 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) )
107 82 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑅 = ( ( 𝑆 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) → 𝑠 ∈ 𝑃 )
108 simpllr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑅 = ( ( 𝑆 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) )
109 108 simpld ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑅 = ( ( 𝑆 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) )
110 simprr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) )
111 110 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑅 = ( ( 𝑆 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) → ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) )
112 simplr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑅 = ( ( 𝑆 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) → 𝑚 ∈ 𝑃 )
113 1 2 3 4 87 6 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 102 105 106 107 109 111 112 86 mideulem2 ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑅 = ( ( 𝑆 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) → 𝐵 = 𝑚 )
114 113 eqcomd ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑅 = ( ( 𝑆 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) → 𝑚 = 𝐵 )
115 114 fveq2d ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑅 = ( ( 𝑆 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑚 ) = ( 𝑆 ‘ 𝐵 ) )
116 115 fveq1d ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑅 = ( ( 𝑆 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑆 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝑠 ) )
117 86 116 eqtrd ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑅 = ( ( 𝑆 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) → 𝑅 = ( ( 𝑆 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝑠 ) )
118 eqid ⊢ ( 𝑆 ‘ 𝑚 ) = ( 𝑆 ‘ 𝑚 )
119 1 2 3 4 6 74 118 82 80 101 110 midexlem ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → ∃ 𝑚 ∈ 𝑃 𝑅 = ( ( 𝑆 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) )
120 117 119 r19.29a ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → 𝑅 = ( ( 𝑆 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝑠 ) )
121 120 oveq1d ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → ( 𝑅 𝐼 𝑠 ) = ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝑠 ) 𝐼 𝑠 ) )
122 85 121 eleqtrrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → 𝐵 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑠 ) )
123 1 2 3 4 6 74 78 75 79 mircgr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → ( 𝐴 − ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) ) = ( 𝐴 − 𝑂 ) )
124 19 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → ( 𝐴 − 𝑂 ) = ( 𝐵 − 𝑅 ) )
125 123 124 eqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → ( 𝐴 − ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) ) = ( 𝐵 − 𝑅 ) )
126 1 2 3 74 78 77 81 80 125 tgcgrcomlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) − 𝐴 ) = ( 𝑅 − 𝐵 ) )
127 120 oveq2d ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → ( 𝐵 − 𝑅 ) = ( 𝐵 − ( ( 𝑆 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝑠 ) ) )
128 1 2 3 4 6 74 81 84 82 mircgr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → ( 𝐵 − ( ( 𝑆 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( 𝐵 − 𝑠 ) )
129 124 127 128 3eqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → ( 𝐴 − 𝑂 ) = ( 𝐵 − 𝑠 ) )
130 1 2 3 74 77 78 79 80 81 82 83 122 126 129 tgcgrextend ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) − 𝑂 ) = ( 𝑅 − 𝑠 ) )
131 1 2 3 74 77 80 axtgcgrrflx ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) − 𝑅 ) = ( 𝑅 − ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) ) )
132 1 2 3 74 79 80 axtgcgrrflx ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → ( 𝑂 − 𝑅 ) = ( 𝑅 − 𝑂 ) )
133 60 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) )
134 simprl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) )
135 1 2 3 74 77 101 82 134 tgbtwncom ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑠 𝐼 ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) ) )
136 1 2 3 74 101 82 101 80 110 tgcgrcomlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → ( 𝑠 − 𝑥 ) = ( 𝑅 − 𝑥 ) )
137 136 eqcomd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → ( 𝑅 − 𝑥 ) = ( 𝑠 − 𝑥 ) )
138 43 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → ⟨“ 𝐵 𝐴 𝑂 ”⟩ ∈ ( ∟G ‘ 𝐺 ) )
139 54 necomd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → 𝐵 ≠ 𝐴 )
140 139 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → 𝐵 ≠ 𝐴 )
141 65 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) )
142 141 orcd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) ∨ 𝐴 = 𝐵 ) )
143 1 4 3 74 78 81 101 142 colcom ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝐵 𝐿 𝐴 ) ∨ 𝐵 = 𝐴 ) )
144 1 4 3 74 81 78 101 143 colrot1 ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ∨ 𝐴 = 𝑥 ) )
145 1 2 3 4 6 74 81 78 79 101 138 140 144 ragcol ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → ⟨“ 𝑥 𝐴 𝑂 ”⟩ ∈ ( ∟G ‘ 𝐺 ) )
146 1 2 3 4 6 74 101 78 79 israg ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → ( ⟨“ 𝑥 𝐴 𝑂 ”⟩ ∈ ( ∟G ‘ 𝐺 ) ↔ ( 𝑥 − 𝑂 ) = ( 𝑥 − ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) ) ) )
147 145 146 mpbid ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → ( 𝑥 − 𝑂 ) = ( 𝑥 − ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) ) )
148 1 2 3 74 80 101 79 82 101 77 133 135 137 147 tgcgrextend ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → ( 𝑅 − 𝑂 ) = ( 𝑠 − ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) ) )
149 132 148 eqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → ( 𝑂 − 𝑅 ) = ( 𝑠 − ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) ) )
150 1 2 3 74 77 78 79 80 80 81 82 77 83 122 130 129 131 149 tgifscgr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → ( 𝐴 − 𝑅 ) = ( 𝐵 − ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) ) )
151 73 150 eqtr4d ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) ) → ( 𝐵 − 𝑂 ) = ( 𝐴 − 𝑅 ) )
152 1 2 3 20 76 26 26 25 axtgsegcon ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → ∃ 𝑠 ∈ 𝑃 ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑂 ) 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑥 − 𝑠 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) ) )
153 151 152 r19.29a ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → ( 𝐵 − 𝑂 ) = ( 𝐴 − 𝑅 ) )
154 19 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → ( 𝐴 − 𝑂 ) = ( 𝐵 − 𝑅 ) )
155 1 2 3 20 24 23 22 25 154 tgcgrcomlr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → ( 𝑂 − 𝐴 ) = ( 𝑅 − 𝐵 ) )
156 143 152 r19.29a ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝐵 𝐿 𝐴 ) ∨ 𝐵 = 𝐴 ) )
157 1 4 3 20 23 25 26 61 btwncolg1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑂 𝐿 𝑅 ) ∨ 𝑂 = 𝑅 ) )
158 1 2 3 4 6 20 21 22 23 24 25 26 59 70 153 155 156 157 symquadlem ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → 𝐵 = ( ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐴 ) )
159 1 2 3 4 6 20 26 21 24 mirbtwn ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐴 ) 𝐼 𝐴 ) )
160 158 oveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → ( 𝐵 𝐼 𝐴 ) = ( ( ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐴 ) 𝐼 𝐴 ) )
161 159 160 eleqtrrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝐴 ) )
162 1 2 3 20 22 26 24 161 tgbtwncom ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) )
163 1 2 3 20 24 22 axtgcgrrflx ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) )
164 158 oveq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → ( 𝑥 − 𝐵 ) = ( 𝑥 − ( ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐴 ) ) )
165 1 2 3 4 6 20 26 21 24 mircgr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → ( 𝑥 − ( ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐴 ) ) = ( 𝑥 − 𝐴 ) )
166 164 165 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → ( 𝑥 − 𝐵 ) = ( 𝑥 − 𝐴 ) )
167 1 2 3 20 24 26 22 23 22 26 24 25 162 161 163 166 154 153 tgifscgr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → ( 𝑥 − 𝑂 ) = ( 𝑥 − 𝑅 ) )
168 1 2 3 4 6 20 26 21 25 23 167 61 ismir ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → 𝑂 = ( ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑅 ) )
169 158 168 jca ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) ) ) → ( 𝐵 = ( ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑂 = ( ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑅 ) ) )
170 1 2 3 5 10 12 11 16 tgbtwncom ⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ( 𝑂 𝐼 𝑄 ) )
171 1 2 3 5 11 8 10 12 17 170 18 axtgpasch ⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 𝐼 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑂 ) ) )
172 169 171 reximddv ⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ( 𝐵 = ( ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑂 = ( ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑅 ) ) )