Theorem or3di

Description: Distributive law for disjunction. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jul-2017)

	Ref	Expression
Assertion	or3di	⊢ ( ( 𝜑 ∨ ( 𝜓 ∧ 𝜒 ∧ 𝜏 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∨ 𝜓 ) ∧ ( 𝜑 ∨ 𝜒 ) ∧ ( 𝜑 ∨ 𝜏 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝜒 ∧ 𝜏 ) ↔ ( ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ∧ 𝜏 ) )
2	1	orbi2i	⊢ ( ( 𝜑 ∨ ( 𝜓 ∧ 𝜒 ∧ 𝜏 ) ) ↔ ( 𝜑 ∨ ( ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ∧ 𝜏 ) ) )
3		ordi	⊢ ( ( 𝜑 ∨ ( ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ∧ 𝜏 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∨ ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ∧ ( 𝜑 ∨ 𝜏 ) ) )
4		ordi	⊢ ( ( 𝜑 ∨ ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∨ 𝜓 ) ∧ ( 𝜑 ∨ 𝜒 ) ) )
5	4	anbi1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∨ ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ∧ ( 𝜑 ∨ 𝜏 ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∨ 𝜓 ) ∧ ( 𝜑 ∨ 𝜒 ) ) ∧ ( 𝜑 ∨ 𝜏 ) ) )
6	2 3 5	3bitri	⊢ ( ( 𝜑 ∨ ( 𝜓 ∧ 𝜒 ∧ 𝜏 ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∨ 𝜓 ) ∧ ( 𝜑 ∨ 𝜒 ) ) ∧ ( 𝜑 ∨ 𝜏 ) ) )
7		df-3an	⊢ ( ( ( 𝜑 ∨ 𝜓 ) ∧ ( 𝜑 ∨ 𝜒 ) ∧ ( 𝜑 ∨ 𝜏 ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∨ 𝜓 ) ∧ ( 𝜑 ∨ 𝜒 ) ) ∧ ( 𝜑 ∨ 𝜏 ) ) )
8	6 7	bitr4i	⊢ ( ( 𝜑 ∨ ( 𝜓 ∧ 𝜒 ∧ 𝜏 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∨ 𝜓 ) ∧ ( 𝜑 ∨ 𝜒 ) ∧ ( 𝜑 ∨ 𝜏 ) ) )