Theorem ordtopn3

Description: An open interval ( A , B ) is open. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015)

	Ref	Expression
Hypothesis	ordttopon.3	⊢ 𝑋 = dom 𝑅
Assertion	ordtopn3	⊢ ( ( 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → { 𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ( ¬ 𝑥 𝑅 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 𝑅 𝑥 ) } ∈ ( ordTop ‘ 𝑅 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordttopon.3	⊢ 𝑋 = dom 𝑅
2		inrab	⊢ ( { 𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥 𝑅 𝐴 } ∩ { 𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝐵 𝑅 𝑥 } ) = { 𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ( ¬ 𝑥 𝑅 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 𝑅 𝑥 ) }
3	1	ordttopon	⊢ ( 𝑅 ∈ 𝑉 → ( ordTop ‘ 𝑅 ) ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) )
4	3	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ( ordTop ‘ 𝑅 ) ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) )
5		topontop	⊢ ( ( ordTop ‘ 𝑅 ) ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) → ( ordTop ‘ 𝑅 ) ∈ Top )
6	4 5	syl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ( ordTop ‘ 𝑅 ) ∈ Top )
7	1	ordtopn1	⊢ ( ( 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → { 𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥 𝑅 𝐴 } ∈ ( ordTop ‘ 𝑅 ) )
8	7	3adant3	⊢ ( ( 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → { 𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥 𝑅 𝐴 } ∈ ( ordTop ‘ 𝑅 ) )
9	1	ordtopn2	⊢ ( ( 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → { 𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝐵 𝑅 𝑥 } ∈ ( ordTop ‘ 𝑅 ) )
10	9	3adant2	⊢ ( ( 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → { 𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝐵 𝑅 𝑥 } ∈ ( ordTop ‘ 𝑅 ) )
11		inopn	⊢ ( ( ( ordTop ‘ 𝑅 ) ∈ Top ∧ { 𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥 𝑅 𝐴 } ∈ ( ordTop ‘ 𝑅 ) ∧ { 𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝐵 𝑅 𝑥 } ∈ ( ordTop ‘ 𝑅 ) ) → ( { 𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥 𝑅 𝐴 } ∩ { 𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝐵 𝑅 𝑥 } ) ∈ ( ordTop ‘ 𝑅 ) )
12	6 8 10 11	syl3anc	⊢ ( ( 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ( { 𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥 𝑅 𝐴 } ∩ { 𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝐵 𝑅 𝑥 } ) ∈ ( ordTop ‘ 𝑅 ) )
13	2 12	eqeltrrid	⊢ ( ( 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → { 𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ( ¬ 𝑥 𝑅 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 𝑅 𝑥 ) } ∈ ( ordTop ‘ 𝑅 ) )