Theorem osumcllem7N

Description: Lemma for osumclN . (Contributed by NM, 24-Mar-2012) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Hypotheses	osumcllem.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	osumcllem.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	osumcllem.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	osumcllem.p	⊢ + = ( +𝑃 ‘ 𝐾 )
	osumcllem.o	⊢ ⊥ = ( ⊥𝑃 ‘ 𝐾 )
	osumcllem.c	⊢ 𝐶 = ( PSubCl ‘ 𝐾 )
	osumcllem.m	⊢ 𝑀 = ( 𝑋 + { 𝑝 } )
	osumcllem.u	⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ ( 𝑋 + 𝑌 ) ) )
Assertion	osumcllem7N	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ) → 𝑝 ∈ ( 𝑋 + 𝑌 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		osumcllem.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2		osumcllem.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3		osumcllem.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
4		osumcllem.p	⊢ + = ( +𝑃 ‘ 𝐾 )
5		osumcllem.o	⊢ ⊥ = ( ⊥𝑃 ‘ 𝐾 )
6		osumcllem.c	⊢ 𝐶 = ( PSubCl ‘ 𝐾 )
7		osumcllem.m	⊢ 𝑀 = ( 𝑋 + { 𝑝 } )
8		osumcllem.u	⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ ( 𝑋 + 𝑌 ) ) )
9		simp11	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ) → 𝐾 ∈ HL )
10	9	hllatd	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
11		simp12	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ) → 𝑋 ⊆ 𝐴 )
12		simp23	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ) → 𝑝 ∈ 𝐴 )
13		simp22	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ) → 𝑋 ≠ ∅ )
14		inss2	⊢ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ⊆ 𝑀
15	14	sseli	⊢ ( 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) → 𝑞 ∈ 𝑀 )
16	15	3ad2ant3	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ) → 𝑞 ∈ 𝑀 )
17	16 7	eleqtrdi	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ) → 𝑞 ∈ ( 𝑋 + { 𝑝 } ) )
18	1 2 3 4	elpaddatiN	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ ( 𝑋 + { 𝑝 } ) ) ) → ∃ 𝑟 ∈ 𝑋 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) )
19	10 11 12 13 17 18	syl32anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑟 ∈ 𝑋 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) )
20		simp11	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) )
21		simp121	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) ) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) )
22		simp123	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) ) → 𝑝 ∈ 𝐴 )
23		simp2	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) ) → 𝑟 ∈ 𝑋 )
24		inss1	⊢ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ⊆ 𝑌
25		simp13	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) ) → 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) )
26	24 25	sseldi	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) ) → 𝑞 ∈ 𝑌 )
27		simp3	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) ) → 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) )
28	1 2 3 4 5 6 7 8	osumcllem6N	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌 ∧ 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) ) ) → 𝑝 ∈ ( 𝑋 + 𝑌 ) )
29	20 21 22 23 26 27 28	syl123anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) ) → 𝑝 ∈ ( 𝑋 + 𝑌 ) )
30	29	rexlimdv3a	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ) → ( ∃ 𝑟 ∈ 𝑋 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) → 𝑝 ∈ ( 𝑋 + 𝑌 ) ) )
31	19 30	mpd	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ) → 𝑝 ∈ ( 𝑋 + 𝑌 ) )