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Theorem paddasslem2

Description: Lemma for paddass . (Contributed by NM, 8-Jan-2012)

Ref Expression
Hypotheses paddasslem.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
paddasslem.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
paddasslem.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
Assertion paddasslem2 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑧 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑦 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 paddasslem.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 paddasslem.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 paddasslem.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
4 simp1l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
5 simp1r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑟 ∈ 𝐴 )
6 simp23 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑧 ∈ 𝐴 )
7 simp22 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑦 ∈ 𝐴 )
8 5 6 7 3jca ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) )
9 simp21 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝐴 )
10 simp3l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) )
11 1 2 3 atnlej2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ) → 𝑟 ≠ 𝑦 )
12 4 5 9 7 10 11 syl131anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑟 ≠ 𝑦 )
13 4 8 12 3jca ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑟 ≠ 𝑦 ) )
14 simp3r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) )
15 1 2 3 hlatexch1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑟 ≠ 𝑦 ) → ( 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) → 𝑧 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) )
16 13 14 15 sylc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑧 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) )
17 4 hllatd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
18 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
19 18 3 atbase ⊢ ( 𝑟 ∈ 𝐴 → 𝑟 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
20 5 19 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑟 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
21 18 3 atbase ⊢ ( 𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
22 7 21 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
23 18 2 latjcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑟 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑟 ∨ 𝑦 ) = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) )
24 17 20 22 23 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → ( 𝑟 ∨ 𝑦 ) = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) )
25 16 24 breqtrrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑧 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑦 ) )