Theorem pexmidlem2N

Description: Lemma for pexmidN . (Contributed by NM, 2-Feb-2012) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Hypotheses	pexmidlem.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	pexmidlem.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	pexmidlem.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	pexmidlem.p	⊢ + = ( +𝑃 ‘ 𝐾 )
	pexmidlem.o	⊢ ⊥ = ( ⊥𝑃 ‘ 𝐾 )
	pexmidlem.m	⊢ 𝑀 = ( 𝑋 + { 𝑝 } )
Assertion	pexmidlem2N	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑞 ) ) ) → 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pexmidlem.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2		pexmidlem.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3		pexmidlem.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
4		pexmidlem.p	⊢ + = ( +𝑃 ‘ 𝐾 )
5		pexmidlem.o	⊢ ⊥ = ( ⊥𝑃 ‘ 𝐾 )
6		pexmidlem.m	⊢ 𝑀 = ( 𝑋 + { 𝑝 } )
7		simpl1	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑞 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
8	7	hllatd	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑞 ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
9		simpl2	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑞 ) ) ) → 𝑋 ⊆ 𝐴 )
10	3 5	polssatN	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ) → ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ⊆ 𝐴 )
11	7 9 10	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑞 ) ) ) → ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ⊆ 𝐴 )
12		simpr1	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑞 ) ) ) → 𝑟 ∈ 𝑋 )
13		simpr2	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑞 ) ) ) → 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) )
14		simpl3	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑞 ) ) ) → 𝑝 ∈ 𝐴 )
15		simpr3	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑞 ) ) ) → 𝑝 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑞 ) )
16	1 2 3 4	elpaddri	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑞 ) ) ) → 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) )
17	8 9 11 12 13 14 15 16	syl322anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑞 ) ) ) → 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) )