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Theorem pexmidlem6N

Description: Lemma for pexmidN . (Contributed by NM, 3-Feb-2012) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses pexmidlem.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
pexmidlem.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
pexmidlem.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
pexmidlem.p ⊢ + = ( +𝑃 ‘ 𝐾 )
pexmidlem.o ⊢ ⊥ = ( ⊥𝑃 ‘ 𝐾 )
pexmidlem.m ⊢ 𝑀 = ( 𝑋 + { 𝑝 } )
Assertion pexmidlem6N ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) → 𝑀 = 𝑋 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 pexmidlem.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 pexmidlem.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 pexmidlem.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
4 pexmidlem.p ⊢ + = ( +𝑃 ‘ 𝐾 )
5 pexmidlem.o ⊢ ⊥ = ( ⊥𝑃 ‘ 𝐾 )
6 pexmidlem.m ⊢ 𝑀 = ( 𝑋 + { 𝑝 } )
7 1 2 3 4 5 6 pexmidlem5N ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) → ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∩ 𝑀 ) = ∅ )
8 7 3adantr1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) → ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∩ 𝑀 ) = ∅ )
9 8 fveq2d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) → ( ⊥ ‘ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∩ 𝑀 ) ) = ( ⊥ ‘ ∅ ) )
10 simpl1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
11 3 5 pol0N ⊢ ( 𝐾 ∈ HL → ( ⊥ ‘ ∅ ) = 𝐴 )
12 10 11 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) → ( ⊥ ‘ ∅ ) = 𝐴 )
13 9 12 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) → ( ⊥ ‘ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∩ 𝑀 ) ) = 𝐴 )
14 13 ineq1d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) → ( ( ⊥ ‘ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∩ 𝑀 ) ) ∩ 𝑀 ) = ( 𝐴 ∩ 𝑀 ) )
15 simpl2 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) → 𝑋 ⊆ 𝐴 )
16 simpl3 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) → 𝑝 ∈ 𝐴 )
17 16 snssd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) → { 𝑝 } ⊆ 𝐴 )
18 3 4 paddssat ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ { 𝑝 } ⊆ 𝐴 ) → ( 𝑋 + { 𝑝 } ) ⊆ 𝐴 )
19 10 15 17 18 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) → ( 𝑋 + { 𝑝 } ) ⊆ 𝐴 )
20 6 19 eqsstrid ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) → 𝑀 ⊆ 𝐴 )
21 10 15 20 3jca ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑀 ⊆ 𝐴 ) )
22 3 4 sspadd1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ { 𝑝 } ⊆ 𝐴 ) → 𝑋 ⊆ ( 𝑋 + { 𝑝 } ) )
23 10 15 17 22 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) → 𝑋 ⊆ ( 𝑋 + { 𝑝 } ) )
24 23 6 sseqtrrdi ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) → 𝑋 ⊆ 𝑀 )
25 simpr1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) → ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 )
26 eqid ⊢ ( PSubCl ‘ 𝐾 ) = ( PSubCl ‘ 𝐾 )
27 3 5 26 ispsubclN ⊢ ( 𝐾 ∈ HL → ( 𝑋 ∈ ( PSubCl ‘ 𝐾 ) ↔ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ) ) )
28 10 27 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) → ( 𝑋 ∈ ( PSubCl ‘ 𝐾 ) ↔ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ) ) )
29 15 25 28 mpbir2and ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ( PSubCl ‘ 𝐾 ) )
30 3 4 26 paddatclN ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ ( PSubCl ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑋 + { 𝑝 } ) ∈ ( PSubCl ‘ 𝐾 ) )
31 10 29 16 30 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) → ( 𝑋 + { 𝑝 } ) ∈ ( PSubCl ‘ 𝐾 ) )
32 6 31 eqeltrid ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) → 𝑀 ∈ ( PSubCl ‘ 𝐾 ) )
33 5 26 psubcli2N ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑀 ∈ ( PSubCl ‘ 𝐾 ) ) → ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑀 ) ) = 𝑀 )
34 10 32 33 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) → ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑀 ) ) = 𝑀 )
35 24 34 jca ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) → ( 𝑋 ⊆ 𝑀 ∧ ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑀 ) ) = 𝑀 ) )
36 3 5 poml4N ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑀 ⊆ 𝐴 ) → ( ( 𝑋 ⊆ 𝑀 ∧ ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑀 ) ) = 𝑀 ) → ( ( ⊥ ‘ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∩ 𝑀 ) ) ∩ 𝑀 ) = ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) )
37 21 35 36 sylc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) → ( ( ⊥ ‘ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∩ 𝑀 ) ) ∩ 𝑀 ) = ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) )
38 sseqin2 ⊢ ( 𝑀 ⊆ 𝐴 ↔ ( 𝐴 ∩ 𝑀 ) = 𝑀 )
39 20 38 sylib ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) → ( 𝐴 ∩ 𝑀 ) = 𝑀 )
40 14 37 39 3eqtr3rd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) → 𝑀 = ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) )
41 40 25 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) → 𝑀 = 𝑋 )