Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
pimxrneun.1 |
⊢ Ⅎ 𝑥 𝜑 |
2 |
|
pimxrneun.2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
3 |
|
pimxrneun.3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ ℝ* ) |
4 |
|
nfrab1 |
⊢ Ⅎ 𝑥 { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶 } |
5 |
|
nfrab1 |
⊢ Ⅎ 𝑥 { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵 } |
6 |
4 5
|
nfun |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶 } ∪ { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵 } ) |
7 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) → 𝑥 ∈ 𝐴 ) |
8 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) → 𝐵 < 𝐶 ) |
9 |
7 8
|
jca |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) |
10 |
|
rabid |
⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶 } ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) |
11 |
9 10
|
sylibr |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) → 𝑥 ∈ { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶 } ) |
12 |
11
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝐶 ) → 𝑥 ∈ { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶 } ) |
13 |
|
elun1 |
⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶 } → 𝑥 ∈ ( { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶 } ∪ { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵 } ) ) |
14 |
12 13
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝐶 ) → 𝑥 ∈ ( { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶 } ∪ { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵 } ) ) |
15 |
14
|
3adantl3 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝐵 < 𝐶 ) → 𝑥 ∈ ( { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶 } ∪ { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵 } ) ) |
16 |
|
3simpa |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) → ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ) |
17 |
16
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶 ) → ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ) |
18 |
3
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶 ) → 𝐶 ∈ ℝ* ) |
19 |
18
|
3adantl3 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶 ) → 𝐶 ∈ ℝ* ) |
20 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶 ) → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
21 |
20
|
3adantl3 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶 ) → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
22 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶 ) → ¬ 𝐵 < 𝐶 ) |
23 |
19 21 22
|
xrnltled |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶 ) → 𝐶 ≤ 𝐵 ) |
24 |
|
necom |
⊢ ( 𝐵 ≠ 𝐶 ↔ 𝐶 ≠ 𝐵 ) |
25 |
24
|
biimpi |
⊢ ( 𝐵 ≠ 𝐶 → 𝐶 ≠ 𝐵 ) |
26 |
25
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶 ) → 𝐶 ≠ 𝐵 ) |
27 |
26
|
3ad2antl3 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶 ) → 𝐶 ≠ 𝐵 ) |
28 |
19 21 23 27
|
xrleneltd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶 ) → 𝐶 < 𝐵 ) |
29 |
|
id |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 < 𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 < 𝐵 ) ) |
30 |
29
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐶 < 𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 < 𝐵 ) ) |
31 |
|
rabid |
⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵 } ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 < 𝐵 ) ) |
32 |
30 31
|
sylibr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐶 < 𝐵 ) → 𝑥 ∈ { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵 } ) |
33 |
|
elun2 |
⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵 } → 𝑥 ∈ ( { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶 } ∪ { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵 } ) ) |
34 |
32 33
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐶 < 𝐵 ) → 𝑥 ∈ ( { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶 } ∪ { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵 } ) ) |
35 |
17 28 34
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶 ) → 𝑥 ∈ ( { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶 } ∪ { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵 } ) ) |
36 |
15 35
|
pm2.61dan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) → 𝑥 ∈ ( { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶 } ∪ { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵 } ) ) |
37 |
1 6 36
|
rabssd |
⊢ ( 𝜑 → { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝐶 } ⊆ ( { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶 } ∪ { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵 } ) ) |
38 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝐶 ) → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
39 |
3
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝐶 ) → 𝐶 ∈ ℝ* ) |
40 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝐶 ) → 𝐵 < 𝐶 ) |
41 |
38 39 40
|
xrltned |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝐶 ) → 𝐵 ≠ 𝐶 ) |
42 |
41
|
ex |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐵 < 𝐶 → 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) |
43 |
1 42
|
ss2rabdf |
⊢ ( 𝜑 → { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶 } ⊆ { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝐶 } ) |
44 |
3
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐶 < 𝐵 ) → 𝐶 ∈ ℝ* ) |
45 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐶 < 𝐵 ) → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
46 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐶 < 𝐵 ) → 𝐶 < 𝐵 ) |
47 |
44 45 46
|
xrgtned |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐶 < 𝐵 ) → 𝐵 ≠ 𝐶 ) |
48 |
47
|
ex |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐶 < 𝐵 → 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) |
49 |
1 48
|
ss2rabdf |
⊢ ( 𝜑 → { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵 } ⊆ { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝐶 } ) |
50 |
43 49
|
unssd |
⊢ ( 𝜑 → ( { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶 } ∪ { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵 } ) ⊆ { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝐶 } ) |
51 |
37 50
|
eqssd |
⊢ ( 𝜑 → { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝐶 } = ( { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶 } ∪ { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵 } ) ) |