Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
spansnch |
โข ( ๐ด โ โ โ ( span โ { ๐ด } ) โ Cโ ) |
2 |
1
|
3ad2ant1 |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ด โ 0โ ) โ ( span โ { ๐ด } ) โ Cโ ) |
3 |
|
simp2 |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ด โ 0โ ) โ ๐ต โ โ ) |
4 |
|
eqid |
โข ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) = ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) |
5 |
|
pjeq |
โข ( ( ( span โ { ๐ด } ) โ Cโ โง ๐ต โ โ ) โ ( ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) = ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) โ ( ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) โ ( span โ { ๐ด } ) โง โ ๐ฆ โ ( โฅ โ ( span โ { ๐ด } ) ) ๐ต = ( ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) +โ ๐ฆ ) ) ) ) |
6 |
4 5
|
mpbii |
โข ( ( ( span โ { ๐ด } ) โ Cโ โง ๐ต โ โ ) โ ( ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) โ ( span โ { ๐ด } ) โง โ ๐ฆ โ ( โฅ โ ( span โ { ๐ด } ) ) ๐ต = ( ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) +โ ๐ฆ ) ) ) |
7 |
6
|
simprd |
โข ( ( ( span โ { ๐ด } ) โ Cโ โง ๐ต โ โ ) โ โ ๐ฆ โ ( โฅ โ ( span โ { ๐ด } ) ) ๐ต = ( ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) +โ ๐ฆ ) ) |
8 |
2 3 7
|
syl2anc |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ด โ 0โ ) โ โ ๐ฆ โ ( โฅ โ ( span โ { ๐ด } ) ) ๐ต = ( ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) +โ ๐ฆ ) ) |
9 |
|
oveq1 |
โข ( ๐ต = ( ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) +โ ๐ฆ ) โ ( ๐ต ยทih ๐ด ) = ( ( ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) +โ ๐ฆ ) ยทih ๐ด ) ) |
10 |
9
|
ad2antll |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ด โ 0โ ) โง ( ๐ฆ โ ( โฅ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โง ๐ต = ( ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) +โ ๐ฆ ) ) ) โ ( ๐ต ยทih ๐ด ) = ( ( ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) +โ ๐ฆ ) ยทih ๐ด ) ) |
11 |
|
pjhcl |
โข ( ( ( span โ { ๐ด } ) โ Cโ โง ๐ต โ โ ) โ ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) โ โ ) |
12 |
2 3 11
|
syl2anc |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ด โ 0โ ) โ ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) โ โ ) |
13 |
12
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ด โ 0โ ) โง ๐ฆ โ ( โฅ โ ( span โ { ๐ด } ) ) ) โ ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) โ โ ) |
14 |
|
choccl |
โข ( ( span โ { ๐ด } ) โ Cโ โ ( โฅ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ Cโ ) |
15 |
1 14
|
syl |
โข ( ๐ด โ โ โ ( โฅ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ Cโ ) |
16 |
15
|
3ad2ant1 |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ด โ 0โ ) โ ( โฅ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ Cโ ) |
17 |
|
chel |
โข ( ( ( โฅ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ Cโ โง ๐ฆ โ ( โฅ โ ( span โ { ๐ด } ) ) ) โ ๐ฆ โ โ ) |
18 |
16 17
|
sylan |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ด โ 0โ ) โง ๐ฆ โ ( โฅ โ ( span โ { ๐ด } ) ) ) โ ๐ฆ โ โ ) |
19 |
|
simpl1 |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ด โ 0โ ) โง ๐ฆ โ ( โฅ โ ( span โ { ๐ด } ) ) ) โ ๐ด โ โ ) |
20 |
|
ax-his2 |
โข ( ( ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) โ โ โง ๐ฆ โ โ โง ๐ด โ โ ) โ ( ( ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) +โ ๐ฆ ) ยทih ๐ด ) = ( ( ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) ยทih ๐ด ) + ( ๐ฆ ยทih ๐ด ) ) ) |
21 |
13 18 19 20
|
syl3anc |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ด โ 0โ ) โง ๐ฆ โ ( โฅ โ ( span โ { ๐ด } ) ) ) โ ( ( ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) +โ ๐ฆ ) ยทih ๐ด ) = ( ( ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) ยทih ๐ด ) + ( ๐ฆ ยทih ๐ด ) ) ) |
22 |
|
spansnsh |
โข ( ๐ด โ โ โ ( span โ { ๐ด } ) โ Sโ ) |
23 |
22
|
adantr |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ฆ โ ( โฅ โ ( span โ { ๐ด } ) ) ) โ ( span โ { ๐ด } ) โ Sโ ) |
24 |
|
spansnid |
โข ( ๐ด โ โ โ ๐ด โ ( span โ { ๐ด } ) ) |
25 |
24
|
adantr |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ฆ โ ( โฅ โ ( span โ { ๐ด } ) ) ) โ ๐ด โ ( span โ { ๐ด } ) ) |
26 |
|
simpr |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ฆ โ ( โฅ โ ( span โ { ๐ด } ) ) ) โ ๐ฆ โ ( โฅ โ ( span โ { ๐ด } ) ) ) |
27 |
|
shocorth |
โข ( ( span โ { ๐ด } ) โ Sโ โ ( ( ๐ด โ ( span โ { ๐ด } ) โง ๐ฆ โ ( โฅ โ ( span โ { ๐ด } ) ) ) โ ( ๐ด ยทih ๐ฆ ) = 0 ) ) |
28 |
27
|
3impib |
โข ( ( ( span โ { ๐ด } ) โ Sโ โง ๐ด โ ( span โ { ๐ด } ) โง ๐ฆ โ ( โฅ โ ( span โ { ๐ด } ) ) ) โ ( ๐ด ยทih ๐ฆ ) = 0 ) |
29 |
23 25 26 28
|
syl3anc |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ฆ โ ( โฅ โ ( span โ { ๐ด } ) ) ) โ ( ๐ด ยทih ๐ฆ ) = 0 ) |
30 |
15 17
|
sylan |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ฆ โ ( โฅ โ ( span โ { ๐ด } ) ) ) โ ๐ฆ โ โ ) |
31 |
|
orthcom |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ฆ โ โ ) โ ( ( ๐ด ยทih ๐ฆ ) = 0 โ ( ๐ฆ ยทih ๐ด ) = 0 ) ) |
32 |
30 31
|
syldan |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ฆ โ ( โฅ โ ( span โ { ๐ด } ) ) ) โ ( ( ๐ด ยทih ๐ฆ ) = 0 โ ( ๐ฆ ยทih ๐ด ) = 0 ) ) |
33 |
29 32
|
mpbid |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ฆ โ ( โฅ โ ( span โ { ๐ด } ) ) ) โ ( ๐ฆ ยทih ๐ด ) = 0 ) |
34 |
33
|
3ad2antl1 |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ด โ 0โ ) โง ๐ฆ โ ( โฅ โ ( span โ { ๐ด } ) ) ) โ ( ๐ฆ ยทih ๐ด ) = 0 ) |
35 |
34
|
oveq2d |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ด โ 0โ ) โง ๐ฆ โ ( โฅ โ ( span โ { ๐ด } ) ) ) โ ( ( ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) ยทih ๐ด ) + ( ๐ฆ ยทih ๐ด ) ) = ( ( ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) ยทih ๐ด ) + 0 ) ) |
36 |
|
hicl |
โข ( ( ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) โ โ โง ๐ด โ โ ) โ ( ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) ยทih ๐ด ) โ โ ) |
37 |
13 19 36
|
syl2anc |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ด โ 0โ ) โง ๐ฆ โ ( โฅ โ ( span โ { ๐ด } ) ) ) โ ( ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) ยทih ๐ด ) โ โ ) |
38 |
37
|
addridd |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ด โ 0โ ) โง ๐ฆ โ ( โฅ โ ( span โ { ๐ด } ) ) ) โ ( ( ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) ยทih ๐ด ) + 0 ) = ( ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) ยทih ๐ด ) ) |
39 |
21 35 38
|
3eqtrd |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ด โ 0โ ) โง ๐ฆ โ ( โฅ โ ( span โ { ๐ด } ) ) ) โ ( ( ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) +โ ๐ฆ ) ยทih ๐ด ) = ( ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) ยทih ๐ด ) ) |
40 |
39
|
adantrr |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ด โ 0โ ) โง ( ๐ฆ โ ( โฅ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โง ๐ต = ( ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) +โ ๐ฆ ) ) ) โ ( ( ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) +โ ๐ฆ ) ยทih ๐ด ) = ( ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) ยทih ๐ด ) ) |
41 |
10 40
|
eqtrd |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ด โ 0โ ) โง ( ๐ฆ โ ( โฅ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โง ๐ต = ( ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) +โ ๐ฆ ) ) ) โ ( ๐ต ยทih ๐ด ) = ( ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) ยทih ๐ด ) ) |
42 |
41
|
oveq1d |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ด โ 0โ ) โง ( ๐ฆ โ ( โฅ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โง ๐ต = ( ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) +โ ๐ฆ ) ) ) โ ( ( ๐ต ยทih ๐ด ) / ( ( normโ โ ๐ด ) โ 2 ) ) = ( ( ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) ยทih ๐ด ) / ( ( normโ โ ๐ด ) โ 2 ) ) ) |
43 |
42
|
oveq1d |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ด โ 0โ ) โง ( ๐ฆ โ ( โฅ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โง ๐ต = ( ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) +โ ๐ฆ ) ) ) โ ( ( ( ๐ต ยทih ๐ด ) / ( ( normโ โ ๐ด ) โ 2 ) ) ยทโ ๐ด ) = ( ( ( ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) ยทih ๐ด ) / ( ( normโ โ ๐ด ) โ 2 ) ) ยทโ ๐ด ) ) |
44 |
|
simpl1 |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ด โ 0โ ) โง ( ๐ฆ โ ( โฅ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โง ๐ต = ( ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) +โ ๐ฆ ) ) ) โ ๐ด โ โ ) |
45 |
|
simpl3 |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ด โ 0โ ) โง ( ๐ฆ โ ( โฅ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โง ๐ต = ( ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) +โ ๐ฆ ) ) ) โ ๐ด โ 0โ ) |
46 |
|
axpjcl |
โข ( ( ( span โ { ๐ด } ) โ Cโ โง ๐ต โ โ ) โ ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) โ ( span โ { ๐ด } ) ) |
47 |
2 3 46
|
syl2anc |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ด โ 0โ ) โ ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) โ ( span โ { ๐ด } ) ) |
48 |
47
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ด โ 0โ ) โง ( ๐ฆ โ ( โฅ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โง ๐ต = ( ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) +โ ๐ฆ ) ) ) โ ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) โ ( span โ { ๐ด } ) ) |
49 |
|
normcan |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ด โ 0โ โง ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ( ( ( ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) ยทih ๐ด ) / ( ( normโ โ ๐ด ) โ 2 ) ) ยทโ ๐ด ) = ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) ) |
50 |
44 45 48 49
|
syl3anc |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ด โ 0โ ) โง ( ๐ฆ โ ( โฅ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โง ๐ต = ( ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) +โ ๐ฆ ) ) ) โ ( ( ( ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) ยทih ๐ด ) / ( ( normโ โ ๐ด ) โ 2 ) ) ยทโ ๐ด ) = ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) ) |
51 |
43 50
|
eqtr2d |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ด โ 0โ ) โง ( ๐ฆ โ ( โฅ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โง ๐ต = ( ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) +โ ๐ฆ ) ) ) โ ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) = ( ( ( ๐ต ยทih ๐ด ) / ( ( normโ โ ๐ด ) โ 2 ) ) ยทโ ๐ด ) ) |
52 |
8 51
|
rexlimddv |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ด โ 0โ ) โ ( ( projโ โ ( span โ { ๐ด } ) ) โ ๐ต ) = ( ( ( ๐ต ยทih ๐ด ) / ( ( normโ โ ๐ด ) โ 2 ) ) ยทโ ๐ด ) ) |