Metamath Proof Explorer


Theorem pm2mprhm

Description: The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is a ring homomorphism. (Contributed by AV, 22-Oct-2019)

Ref Expression
Hypotheses pm2mpmhm.p โŠข ๐‘ƒ = ( Poly1 โ€˜ ๐‘… )
pm2mpmhm.c โŠข ๐ถ = ( ๐‘ Mat ๐‘ƒ )
pm2mpmhm.a โŠข ๐ด = ( ๐‘ Mat ๐‘… )
pm2mpmhm.q โŠข ๐‘„ = ( Poly1 โ€˜ ๐ด )
pm2mpmhm.t โŠข ๐‘‡ = ( ๐‘ pMatToMatPoly ๐‘… )
Assertion pm2mprhm ( ( ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring ) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ ( ๐ถ RingHom ๐‘„ ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 pm2mpmhm.p โŠข ๐‘ƒ = ( Poly1 โ€˜ ๐‘… )
2 pm2mpmhm.c โŠข ๐ถ = ( ๐‘ Mat ๐‘ƒ )
3 pm2mpmhm.a โŠข ๐ด = ( ๐‘ Mat ๐‘… )
4 pm2mpmhm.q โŠข ๐‘„ = ( Poly1 โ€˜ ๐ด )
5 pm2mpmhm.t โŠข ๐‘‡ = ( ๐‘ pMatToMatPoly ๐‘… )
6 1 2 pmatring โŠข ( ( ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring ) โ†’ ๐ถ โˆˆ Ring )
7 3 matring โŠข ( ( ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring ) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring )
8 4 ply1ring โŠข ( ๐ด โˆˆ Ring โ†’ ๐‘„ โˆˆ Ring )
9 7 8 syl โŠข ( ( ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring ) โ†’ ๐‘„ โˆˆ Ring )
10 eqid โŠข ( Base โ€˜ ๐ถ ) = ( Base โ€˜ ๐ถ )
11 eqid โŠข ( ยท๐‘  โ€˜ ๐‘„ ) = ( ยท๐‘  โ€˜ ๐‘„ )
12 eqid โŠข ( .g โ€˜ ( mulGrp โ€˜ ๐‘„ ) ) = ( .g โ€˜ ( mulGrp โ€˜ ๐‘„ ) )
13 eqid โŠข ( var1 โ€˜ ๐ด ) = ( var1 โ€˜ ๐ด )
14 eqid โŠข ( Base โ€˜ ๐‘„ ) = ( Base โ€˜ ๐‘„ )
15 1 2 10 11 12 13 3 4 14 5 pm2mpghm โŠข ( ( ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring ) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ ( ๐ถ GrpHom ๐‘„ ) )
16 1 2 3 4 5 pm2mpmhm โŠข ( ( ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring ) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ ( ( mulGrp โ€˜ ๐ถ ) MndHom ( mulGrp โ€˜ ๐‘„ ) ) )
17 15 16 jca โŠข ( ( ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring ) โ†’ ( ๐‘‡ โˆˆ ( ๐ถ GrpHom ๐‘„ ) โˆง ๐‘‡ โˆˆ ( ( mulGrp โ€˜ ๐ถ ) MndHom ( mulGrp โ€˜ ๐‘„ ) ) ) )
18 eqid โŠข ( mulGrp โ€˜ ๐ถ ) = ( mulGrp โ€˜ ๐ถ )
19 eqid โŠข ( mulGrp โ€˜ ๐‘„ ) = ( mulGrp โ€˜ ๐‘„ )
20 18 19 isrhm โŠข ( ๐‘‡ โˆˆ ( ๐ถ RingHom ๐‘„ ) โ†” ( ( ๐ถ โˆˆ Ring โˆง ๐‘„ โˆˆ Ring ) โˆง ( ๐‘‡ โˆˆ ( ๐ถ GrpHom ๐‘„ ) โˆง ๐‘‡ โˆˆ ( ( mulGrp โ€˜ ๐ถ ) MndHom ( mulGrp โ€˜ ๐‘„ ) ) ) ) )
21 6 9 17 20 syl21anbrc โŠข ( ( ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring ) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ ( ๐ถ RingHom ๐‘„ ) )