| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
pmapjoin.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 ) |
| 2 |
|
pmapjoin.j |
⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 ) |
| 3 |
|
pmapjoin.m |
⊢ 𝑀 = ( pmap ‘ 𝐾 ) |
| 4 |
|
pmapjoin.p |
⊢ + = ( +𝑃 ‘ 𝐾 ) |
| 5 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) → 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) |
| 6 |
5
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) → 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) ) |
| 7 |
|
eqid |
⊢ ( Atoms ‘ 𝐾 ) = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
| 8 |
1 7
|
atbase |
⊢ ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) → 𝑝 ∈ 𝐵 ) |
| 9 |
|
eqid |
⊢ ( le ‘ 𝐾 ) = ( le ‘ 𝐾 ) |
| 10 |
1 9 2
|
latlej1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) |
| 11 |
10
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ) → 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) |
| 12 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ) → 𝐾 ∈ Lat ) |
| 13 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ) → 𝑝 ∈ 𝐵 ) |
| 14 |
|
simpl2 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ) → 𝑋 ∈ 𝐵 ) |
| 15 |
1 2
|
latjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∈ 𝐵 ) |
| 16 |
15
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∈ 𝐵 ) |
| 17 |
1 9
|
lattr |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ∧ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) → 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) ) |
| 18 |
12 13 14 16 17
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ∧ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) → 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) ) |
| 19 |
11 18
|
mpan2d |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 → 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) ) |
| 20 |
19
|
expimpd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) → 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) ) |
| 21 |
8 20
|
sylani |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) → 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) ) |
| 22 |
6 21
|
jcad |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) → ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) ) ) |
| 23 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) → 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) |
| 24 |
23
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) → 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) ) |
| 25 |
1 9 2
|
latlej2 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → 𝑌 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) |
| 26 |
25
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ) → 𝑌 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) |
| 27 |
|
simpl3 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ) → 𝑌 ∈ 𝐵 ) |
| 28 |
1 9
|
lattr |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ∧ 𝑌 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) → 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) ) |
| 29 |
12 13 27 16 28
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ∧ 𝑌 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) → 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) ) |
| 30 |
26 29
|
mpan2d |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 → 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) ) |
| 31 |
30
|
expimpd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) → 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) ) |
| 32 |
8 31
|
sylani |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) → 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) ) |
| 33 |
24 32
|
jcad |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) → ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) ) ) |
| 34 |
22 33
|
jaod |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ∨ ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) → ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) ) ) |
| 35 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ∃ 𝑞 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∃ 𝑟 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑞 ∨ 𝑟 ) ) → 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) |
| 36 |
35
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ∃ 𝑞 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∃ 𝑟 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑞 ∨ 𝑟 ) ) → 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) ) |
| 37 |
1 9 7 3
|
elpmap |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑞 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ↔ ( 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑞 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) ) |
| 38 |
37
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑞 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ↔ ( 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑞 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) ) |
| 39 |
1 9 7 3
|
elpmap |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑟 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ↔ ( 𝑟 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑟 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) |
| 40 |
39
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑟 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ↔ ( 𝑟 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑟 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) |
| 41 |
38 40
|
anbi12d |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑞 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ) ↔ ( ( 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑞 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ∧ ( 𝑟 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑟 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) |
| 42 |
|
an4 |
⊢ ( ( ( 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑞 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ∧ ( 𝑟 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑟 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ↔ ( ( 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑟 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑞 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ∧ 𝑟 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) |
| 43 |
41 42
|
bitrdi |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑞 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ) ↔ ( ( 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑟 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑞 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ∧ 𝑟 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) |
| 44 |
43
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑞 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ) ↔ ( ( 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑟 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑞 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ∧ 𝑟 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) |
| 45 |
1 7
|
atbase |
⊢ ( 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) → 𝑞 ∈ 𝐵 ) |
| 46 |
1 7
|
atbase |
⊢ ( 𝑟 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) → 𝑟 ∈ 𝐵 ) |
| 47 |
45 46
|
anim12i |
⊢ ( ( 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑟 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵 ) ) |
| 48 |
|
simpll1 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐾 ∈ Lat ) |
| 49 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑞 ∈ 𝐵 ) |
| 50 |
|
simpll2 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 ) |
| 51 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑟 ∈ 𝐵 ) |
| 52 |
|
simpll3 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑌 ∈ 𝐵 ) |
| 53 |
1 9 2
|
latjlej12 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑞 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ∧ 𝑟 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) → ( 𝑞 ∨ 𝑟 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) ) |
| 54 |
48 49 50 51 52 53
|
syl122anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑞 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ∧ 𝑟 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) → ( 𝑞 ∨ 𝑟 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) ) |
| 55 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑝 ∈ 𝐵 ) |
| 56 |
1 2
|
latjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑞 ∨ 𝑟 ) ∈ 𝐵 ) |
| 57 |
48 49 51 56
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑞 ∨ 𝑟 ) ∈ 𝐵 ) |
| 58 |
15
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∈ 𝐵 ) |
| 59 |
1 9
|
lattr |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑞 ∨ 𝑟 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑞 ∨ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ∨ 𝑟 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) → 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) ) |
| 60 |
48 55 57 58 59
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑞 ∨ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ∨ 𝑟 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) → 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) ) |
| 61 |
60
|
expcomd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑞 ∨ 𝑟 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) → ( 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑞 ∨ 𝑟 ) → 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) ) ) |
| 62 |
54 61
|
syld |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑞 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ∧ 𝑟 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) → ( 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑞 ∨ 𝑟 ) → 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) ) ) |
| 63 |
62
|
expimpd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑞 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ∧ 𝑟 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) → ( 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑞 ∨ 𝑟 ) → 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) ) ) |
| 64 |
47 63
|
sylani |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑟 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑞 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ∧ 𝑟 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) → ( 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑞 ∨ 𝑟 ) → 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) ) ) |
| 65 |
44 64
|
sylbid |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑞 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ) → ( 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑞 ∨ 𝑟 ) → 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) ) ) |
| 66 |
65
|
rexlimdvv |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ) → ( ∃ 𝑞 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∃ 𝑟 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑞 ∨ 𝑟 ) → 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) ) |
| 67 |
66
|
expimpd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ ∃ 𝑞 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∃ 𝑟 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑞 ∨ 𝑟 ) ) → 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) ) |
| 68 |
8 67
|
sylani |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ∃ 𝑞 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∃ 𝑟 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑞 ∨ 𝑟 ) ) → 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) ) |
| 69 |
36 68
|
jcad |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ∃ 𝑞 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∃ 𝑟 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑞 ∨ 𝑟 ) ) → ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) ) ) |
| 70 |
34 69
|
jaod |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ∨ ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ∨ ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ∃ 𝑞 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∃ 𝑟 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑞 ∨ 𝑟 ) ) ) → ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) ) ) |
| 71 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → 𝐾 ∈ Lat ) |
| 72 |
1 7 3
|
pmapssat |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ⊆ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) |
| 73 |
72
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ⊆ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) |
| 74 |
1 7 3
|
pmapssat |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ⊆ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) |
| 75 |
74
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ⊆ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) |
| 76 |
9 2 7 4
|
elpadd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ⊆ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ⊆ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑝 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) + ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ) ↔ ( ( 𝑝 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∨ 𝑝 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ) ∨ ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ∃ 𝑞 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∃ 𝑟 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑞 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ) |
| 77 |
71 73 75 76
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑝 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) + ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ) ↔ ( ( 𝑝 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∨ 𝑝 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ) ∨ ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ∃ 𝑞 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∃ 𝑟 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑞 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ) |
| 78 |
1 9 7 3
|
elpmap |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑝 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ↔ ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) ) |
| 79 |
78
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑝 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ↔ ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) ) |
| 80 |
1 9 7 3
|
elpmap |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑝 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ↔ ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) |
| 81 |
80
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑝 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ↔ ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) |
| 82 |
79 81
|
orbi12d |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑝 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∨ 𝑝 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ) ↔ ( ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ∨ ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) |
| 83 |
82
|
orbi1d |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑝 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∨ 𝑝 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ) ∨ ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ∃ 𝑞 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∃ 𝑟 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑞 ∨ 𝑟 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ∨ ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ∨ ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ∃ 𝑞 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∃ 𝑟 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑞 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ) |
| 84 |
77 83
|
bitrd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑝 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) + ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ) ↔ ( ( ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ∨ ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ∨ ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ∃ 𝑞 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∃ 𝑟 ∈ ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑞 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ) |
| 85 |
1 9 7 3
|
elpmap |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∈ 𝐵 ) → ( 𝑝 ∈ ( 𝑀 ‘ ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) ↔ ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) ) ) |
| 86 |
71 15 85
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑝 ∈ ( 𝑀 ‘ ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) ↔ ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) ) ) |
| 87 |
70 84 86
|
3imtr4d |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑝 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) + ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ) → 𝑝 ∈ ( 𝑀 ‘ ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) ) ) |
| 88 |
87
|
ssrdv |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) + ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ) ⊆ ( 𝑀 ‘ ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) ) |