Theorem pmatcollpw1lem1

Description: Lemma 1 for pmatcollpw1 . (Contributed by AV, 28-Sep-2019) (Revised by AV, 3-Dec-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	pmatcollpw1.p	⊢ 𝑃 = ( Poly1 ‘ 𝑅 )
	pmatcollpw1.c	⊢ 𝐶 = ( 𝑁 Mat 𝑃 )
	pmatcollpw1.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐶 )
	pmatcollpw1.m	⊢ × = ( ·𝑠 ‘ 𝑃 )
	pmatcollpw1.e	⊢ ↑ = ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑃 ) )
	pmatcollpw1.x	⊢ 𝑋 = ( var1 ‘ 𝑅 )
Assertion	pmatcollpw1lem1	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ( 𝐼 ( 𝑀 decompPMat 𝑛 ) 𝐽 ) × ( 𝑛 ↑ 𝑋 ) ) ) finSupp ( 0g ‘ 𝑃 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmatcollpw1.p	⊢ 𝑃 = ( Poly1 ‘ 𝑅 )
2		pmatcollpw1.c	⊢ 𝐶 = ( 𝑁 Mat 𝑃 )
3		pmatcollpw1.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐶 )
4		pmatcollpw1.m	⊢ × = ( ·𝑠 ‘ 𝑃 )
5		pmatcollpw1.e	⊢ ↑ = ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑃 ) )
6		pmatcollpw1.x	⊢ 𝑋 = ( var1 ‘ 𝑅 )
7		fvexd	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) → ( 0g ‘ 𝑃 ) ∈ V )
8		ovexd	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐼 ( 𝑀 decompPMat 𝑛 ) 𝐽 ) × ( 𝑛 ↑ 𝑋 ) ) ∈ V )
9		oveq2	⊢ ( 𝑛 = 𝑥 → ( 𝑀 decompPMat 𝑛 ) = ( 𝑀 decompPMat 𝑥 ) )
10	9	oveqd	⊢ ( 𝑛 = 𝑥 → ( 𝐼 ( 𝑀 decompPMat 𝑛 ) 𝐽 ) = ( 𝐼 ( 𝑀 decompPMat 𝑥 ) 𝐽 ) )
11		oveq1	⊢ ( 𝑛 = 𝑥 → ( 𝑛 ↑ 𝑋 ) = ( 𝑥 ↑ 𝑋 ) )
12	10 11	oveq12d	⊢ ( 𝑛 = 𝑥 → ( ( 𝐼 ( 𝑀 decompPMat 𝑛 ) 𝐽 ) × ( 𝑛 ↑ 𝑋 ) ) = ( ( 𝐼 ( 𝑀 decompPMat 𝑥 ) 𝐽 ) × ( 𝑥 ↑ 𝑋 ) ) )
13		eqid	⊢ ( Base ‘ 𝑃 ) = ( Base ‘ 𝑃 )
14		simp2	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) → 𝐼 ∈ 𝑁 )
15		simp3	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) → 𝐽 ∈ 𝑁 )
16		simp13	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) → 𝑀 ∈ 𝐵 )
17	2 13 3 14 15 16	matecld	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) → ( 𝐼 𝑀 𝐽 ) ∈ ( Base ‘ 𝑃 ) )
18		eqid	⊢ ( coe1 ‘ ( 𝐼 𝑀 𝐽 ) ) = ( coe1 ‘ ( 𝐼 𝑀 𝐽 ) )
19		eqid	⊢ ( 0g ‘ 𝑅 ) = ( 0g ‘ 𝑅 )
20	18 13 1 19	coe1ae0	⊢ ( ( 𝐼 𝑀 𝐽 ) ∈ ( Base ‘ 𝑃 ) → ∃ 𝑠 ∈ ℕ0 ∀ 𝑥 ∈ ℕ0 ( 𝑠 < 𝑥 → ( ( coe1 ‘ ( 𝐼 𝑀 𝐽 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
21	17 20	syl	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) → ∃ 𝑠 ∈ ℕ0 ∀ 𝑥 ∈ ℕ0 ( 𝑠 < 𝑥 → ( ( coe1 ‘ ( 𝐼 𝑀 𝐽 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
22		simpl12	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ) → 𝑅 ∈ Ring )
23	16	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ) → 𝑀 ∈ 𝐵 )
24		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ) → 𝑥 ∈ ℕ0 )
25		3simpc	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) → ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) )
26	25	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) )
27	1 2 3	decpmate	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝐼 ( 𝑀 decompPMat 𝑥 ) 𝐽 ) = ( ( coe1 ‘ ( 𝐼 𝑀 𝐽 ) ) ‘ 𝑥 ) )
28	22 23 24 26 27	syl31anc	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐼 ( 𝑀 decompPMat 𝑥 ) 𝐽 ) = ( ( coe1 ‘ ( 𝐼 𝑀 𝐽 ) ) ‘ 𝑥 ) )
29	28	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ) ∧ ( ( coe1 ‘ ( 𝐼 𝑀 𝐽 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝐼 ( 𝑀 decompPMat 𝑥 ) 𝐽 ) = ( ( coe1 ‘ ( 𝐼 𝑀 𝐽 ) ) ‘ 𝑥 ) )
30		simpr	⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ) ∧ ( ( coe1 ‘ ( 𝐼 𝑀 𝐽 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( coe1 ‘ ( 𝐼 𝑀 𝐽 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
31	29 30	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ) ∧ ( ( coe1 ‘ ( 𝐼 𝑀 𝐽 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝐼 ( 𝑀 decompPMat 𝑥 ) 𝐽 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
32	31	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ) ∧ ( ( coe1 ‘ ( 𝐼 𝑀 𝐽 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝐼 ( 𝑀 decompPMat 𝑥 ) 𝐽 ) × ( 𝑥 ↑ 𝑋 ) ) = ( ( 0g ‘ 𝑅 ) × ( 𝑥 ↑ 𝑋 ) ) )
33		eqid	⊢ ( mulGrp ‘ 𝑃 ) = ( mulGrp ‘ 𝑃 )
34	1 6 33 5 13	ply1moncl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑥 ↑ 𝑋 ) ∈ ( Base ‘ 𝑃 ) )
35	22 24 34	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑥 ↑ 𝑋 ) ∈ ( Base ‘ 𝑃 ) )
36	1 13 4 19	ply10s0	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑥 ↑ 𝑋 ) ∈ ( Base ‘ 𝑃 ) ) → ( ( 0g ‘ 𝑅 ) × ( 𝑥 ↑ 𝑋 ) ) = ( 0g ‘ 𝑃 ) )
37	22 35 36	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ) → ( ( 0g ‘ 𝑅 ) × ( 𝑥 ↑ 𝑋 ) ) = ( 0g ‘ 𝑃 ) )
38	37	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ) ∧ ( ( coe1 ‘ ( 𝐼 𝑀 𝐽 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 0g ‘ 𝑅 ) × ( 𝑥 ↑ 𝑋 ) ) = ( 0g ‘ 𝑃 ) )
39	32 38	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ) ∧ ( ( coe1 ‘ ( 𝐼 𝑀 𝐽 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝐼 ( 𝑀 decompPMat 𝑥 ) 𝐽 ) × ( 𝑥 ↑ 𝑋 ) ) = ( 0g ‘ 𝑃 ) )
40	39	ex	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( coe1 ‘ ( 𝐼 𝑀 𝐽 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) → ( ( 𝐼 ( 𝑀 decompPMat 𝑥 ) 𝐽 ) × ( 𝑥 ↑ 𝑋 ) ) = ( 0g ‘ 𝑃 ) ) )
41	40	imim2d	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑠 < 𝑥 → ( ( coe1 ‘ ( 𝐼 𝑀 𝐽 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑠 < 𝑥 → ( ( 𝐼 ( 𝑀 decompPMat 𝑥 ) 𝐽 ) × ( 𝑥 ↑ 𝑋 ) ) = ( 0g ‘ 𝑃 ) ) ) )
42	41	ralimdva	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ℕ0 ( 𝑠 < 𝑥 → ( ( coe1 ‘ ( 𝐼 𝑀 𝐽 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ℕ0 ( 𝑠 < 𝑥 → ( ( 𝐼 ( 𝑀 decompPMat 𝑥 ) 𝐽 ) × ( 𝑥 ↑ 𝑋 ) ) = ( 0g ‘ 𝑃 ) ) ) )
43	42	reximdv	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) → ( ∃ 𝑠 ∈ ℕ0 ∀ 𝑥 ∈ ℕ0 ( 𝑠 < 𝑥 → ( ( coe1 ‘ ( 𝐼 𝑀 𝐽 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) → ∃ 𝑠 ∈ ℕ0 ∀ 𝑥 ∈ ℕ0 ( 𝑠 < 𝑥 → ( ( 𝐼 ( 𝑀 decompPMat 𝑥 ) 𝐽 ) × ( 𝑥 ↑ 𝑋 ) ) = ( 0g ‘ 𝑃 ) ) ) )
44	21 43	mpd	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) → ∃ 𝑠 ∈ ℕ0 ∀ 𝑥 ∈ ℕ0 ( 𝑠 < 𝑥 → ( ( 𝐼 ( 𝑀 decompPMat 𝑥 ) 𝐽 ) × ( 𝑥 ↑ 𝑋 ) ) = ( 0g ‘ 𝑃 ) ) )
45	7 8 12 44	mptnn0fsuppd	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ( 𝐼 ( 𝑀 decompPMat 𝑛 ) 𝐽 ) × ( 𝑛 ↑ 𝑋 ) ) ) finSupp ( 0g ‘ 𝑃 ) )