| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
pntlem3.r |
⊢ 𝑅 = ( 𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ( ( ψ ‘ 𝑎 ) − 𝑎 ) ) |
| 2 |
|
pntlem3.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+ ) |
| 3 |
|
pntlem3.A |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ ℝ+ ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) / 𝑥 ) ) ≤ 𝐴 ) |
| 4 |
|
pntlemp.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+ ) |
| 5 |
|
pntlemp.l |
⊢ ( 𝜑 → 𝐿 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) |
| 6 |
|
pntlemp.d |
⊢ 𝐷 = ( 𝐴 + 1 ) |
| 7 |
|
pntlemp.f |
⊢ 𝐹 = ( ( 1 − ( 1 / 𝐷 ) ) · ( ( 𝐿 / ( ; 3 2 · 𝐵 ) ) / ( 𝐷 ↑ 2 ) ) ) |
| 8 |
|
pntlemp.K |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑒 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∃ 𝑥 ∈ ℝ+ ∀ 𝑘 ∈ ( ( exp ‘ ( 𝐵 / 𝑒 ) ) [,) +∞ ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝑥 (,) +∞ ) ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ( ( 𝑦 < 𝑧 ∧ ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝑒 ) ) · 𝑧 ) < ( 𝑘 · 𝑦 ) ) ∧ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑧 [,] ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝑒 ) ) · 𝑧 ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑢 ) / 𝑢 ) ) ≤ 𝑒 ) ) |
| 9 |
|
eqid |
⊢ { 𝑡 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ∣ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑦 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑡 } = { 𝑡 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ∣ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑦 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑡 } |
| 10 |
1 2 4 5 6 7
|
pntlemd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐿 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐹 ∈ ℝ+ ) ) |
| 11 |
10
|
simp3d |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ+ ) |
| 12 |
|
0m0e0 |
⊢ ( 0 − 0 ) = 0 |
| 13 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ { 𝑡 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ∣ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑦 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑡 } ) ∧ 𝑟 = 0 ) → 𝑟 = 0 ) |
| 14 |
13
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ { 𝑡 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ∣ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑦 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑡 } ) ∧ 𝑟 = 0 ) → ( 𝑟 ↑ 3 ) = ( 0 ↑ 3 ) ) |
| 15 |
|
3nn |
⊢ 3 ∈ ℕ |
| 16 |
|
0exp |
⊢ ( 3 ∈ ℕ → ( 0 ↑ 3 ) = 0 ) |
| 17 |
15 16
|
ax-mp |
⊢ ( 0 ↑ 3 ) = 0 |
| 18 |
14 17
|
eqtrdi |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ { 𝑡 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ∣ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑦 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑡 } ) ∧ 𝑟 = 0 ) → ( 𝑟 ↑ 3 ) = 0 ) |
| 19 |
18
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ { 𝑡 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ∣ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑦 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑡 } ) ∧ 𝑟 = 0 ) → ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) = ( 𝐹 · 0 ) ) |
| 20 |
11
|
rpcnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ ) |
| 21 |
20
|
mul01d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 · 0 ) = 0 ) |
| 22 |
21
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ { 𝑡 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ∣ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑦 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑡 } ) ∧ 𝑟 = 0 ) → ( 𝐹 · 0 ) = 0 ) |
| 23 |
19 22
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ { 𝑡 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ∣ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑦 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑡 } ) ∧ 𝑟 = 0 ) → ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) = 0 ) |
| 24 |
13 23
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ { 𝑡 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ∣ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑦 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑡 } ) ∧ 𝑟 = 0 ) → ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) = ( 0 − 0 ) ) |
| 25 |
12 24 13
|
3eqtr4a |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ { 𝑡 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ∣ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑦 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑡 } ) ∧ 𝑟 = 0 ) → ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) = 𝑟 ) |
| 26 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ { 𝑡 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ∣ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑦 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑡 } ) ∧ 𝑟 = 0 ) → 𝑟 ∈ { 𝑡 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ∣ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑦 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑡 } ) |
| 27 |
25 26
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ { 𝑡 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ∣ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑦 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑡 } ) ∧ 𝑟 = 0 ) → ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ∈ { 𝑡 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ∣ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑦 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑡 } ) |
| 28 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑦 = 𝑠 → ( 𝑦 [,) +∞ ) = ( 𝑠 [,) +∞ ) ) |
| 29 |
28
|
raleqdv |
⊢ ( 𝑦 = 𝑠 → ( ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑦 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ↔ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) |
| 30 |
29
|
cbvrexvw |
⊢ ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑦 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ↔ ∃ 𝑠 ∈ ℝ+ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) |
| 31 |
|
simplrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) |
| 32 |
|
0re |
⊢ 0 ∈ ℝ |
| 33 |
2
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ+ ) |
| 34 |
33
|
rpred |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
| 35 |
|
elicc2 |
⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) → ( 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ↔ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝐴 ) ) ) |
| 36 |
32 34 35
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → ( 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ↔ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝐴 ) ) ) |
| 37 |
31 36
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝐴 ) ) |
| 38 |
37
|
simp1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → 𝑟 ∈ ℝ ) |
| 39 |
11
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → 𝐹 ∈ ℝ+ ) |
| 40 |
37
|
simp2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → 0 ≤ 𝑟 ) |
| 41 |
|
simplrl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → 𝑟 ≠ 0 ) |
| 42 |
38 40 41
|
ne0gt0d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → 0 < 𝑟 ) |
| 43 |
38 42
|
elrpd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → 𝑟 ∈ ℝ+ ) |
| 44 |
|
3z |
⊢ 3 ∈ ℤ |
| 45 |
|
rpexpcl |
⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℤ ) → ( 𝑟 ↑ 3 ) ∈ ℝ+ ) |
| 46 |
43 44 45
|
sylancl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → ( 𝑟 ↑ 3 ) ∈ ℝ+ ) |
| 47 |
39 46
|
rpmulcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ∈ ℝ+ ) |
| 48 |
47
|
rpred |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ∈ ℝ ) |
| 49 |
38 48
|
resubcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ∈ ℝ ) |
| 50 |
3
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ℝ+ ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) / 𝑥 ) ) ≤ 𝐴 ) |
| 51 |
4
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ+ ) |
| 52 |
5
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → 𝐿 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) |
| 53 |
8
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → ∀ 𝑒 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∃ 𝑥 ∈ ℝ+ ∀ 𝑘 ∈ ( ( exp ‘ ( 𝐵 / 𝑒 ) ) [,) +∞ ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝑥 (,) +∞ ) ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ( ( 𝑦 < 𝑧 ∧ ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝑒 ) ) · 𝑧 ) < ( 𝑘 · 𝑦 ) ) ∧ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑧 [,] ( ( 1 + ( 𝐿 · 𝑒 ) ) · 𝑧 ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑢 ) / 𝑢 ) ) ≤ 𝑒 ) ) |
| 54 |
37
|
simp3d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → 𝑟 ≤ 𝐴 ) |
| 55 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑟 / 𝐷 ) = ( 𝑟 / 𝐷 ) |
| 56 |
|
eqid |
⊢ ( exp ‘ ( 𝐵 / ( 𝑟 / 𝐷 ) ) ) = ( exp ‘ ( 𝐵 / ( 𝑟 / 𝐷 ) ) ) |
| 57 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ+ ) |
| 58 |
|
1rp |
⊢ 1 ∈ ℝ+ |
| 59 |
|
rpaddcl |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑠 + 1 ) ∈ ℝ+ ) |
| 60 |
57 58 59
|
sylancl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → ( 𝑠 + 1 ) ∈ ℝ+ ) |
| 61 |
57
|
rpge0d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → 0 ≤ 𝑠 ) |
| 62 |
|
1re |
⊢ 1 ∈ ℝ |
| 63 |
57
|
rpred |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
| 64 |
|
addge02 |
⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 0 ≤ 𝑠 ↔ 1 ≤ ( 𝑠 + 1 ) ) ) |
| 65 |
62 63 64
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → ( 0 ≤ 𝑠 ↔ 1 ≤ ( 𝑠 + 1 ) ) ) |
| 66 |
61 65
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → 1 ≤ ( 𝑠 + 1 ) ) |
| 67 |
60 66
|
jca |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → ( ( 𝑠 + 1 ) ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ ( 𝑠 + 1 ) ) ) |
| 68 |
57
|
rpxrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ* ) |
| 69 |
63
|
lep1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → 𝑠 ≤ ( 𝑠 + 1 ) ) |
| 70 |
|
df-ico |
⊢ [,) = ( 𝑡 ∈ ℝ* , 𝑟 ∈ ℝ* ↦ { 𝑤 ∈ ℝ* ∣ ( 𝑡 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝑟 ) } ) |
| 71 |
|
xrletr |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ* ∧ ( 𝑠 + 1 ) ∈ ℝ* ∧ 𝑣 ∈ ℝ* ) → ( ( 𝑠 ≤ ( 𝑠 + 1 ) ∧ ( 𝑠 + 1 ) ≤ 𝑣 ) → 𝑠 ≤ 𝑣 ) ) |
| 72 |
70 70 71
|
ixxss1 |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ≤ ( 𝑠 + 1 ) ) → ( ( 𝑠 + 1 ) [,) +∞ ) ⊆ ( 𝑠 [,) +∞ ) ) |
| 73 |
68 69 72
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → ( ( 𝑠 + 1 ) [,) +∞ ) ⊆ ( 𝑠 [,) +∞ ) ) |
| 74 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) |
| 75 |
|
ssralv |
⊢ ( ( ( 𝑠 + 1 ) [,) +∞ ) ⊆ ( 𝑠 [,) +∞ ) → ( ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 → ∀ 𝑧 ∈ ( ( 𝑠 + 1 ) [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) |
| 76 |
73 74 75
|
sylc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → ∀ 𝑧 ∈ ( ( 𝑠 + 1 ) [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) |
| 77 |
1 33 50 51 52 6 7 53 43 54 55 56 67 76
|
pntlemp |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑤 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑣 ) / 𝑣 ) ) ≤ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ) |
| 78 |
|
rpre |
⊢ ( 𝑤 ∈ ℝ+ → 𝑤 ∈ ℝ ) |
| 79 |
78
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) → 𝑤 ∈ ℝ ) |
| 80 |
79
|
leidd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) → 𝑤 ≤ 𝑤 ) |
| 81 |
|
elicopnf |
⊢ ( 𝑤 ∈ ℝ → ( 𝑤 ∈ ( 𝑤 [,) +∞ ) ↔ ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ≤ 𝑤 ) ) ) |
| 82 |
79 81
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑤 ∈ ( 𝑤 [,) +∞ ) ↔ ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ≤ 𝑤 ) ) ) |
| 83 |
79 80 82
|
mpbir2and |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) → 𝑤 ∈ ( 𝑤 [,) +∞ ) ) |
| 84 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑣 = 𝑤 → ( 𝑅 ‘ 𝑣 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑤 ) ) |
| 85 |
|
id |
⊢ ( 𝑣 = 𝑤 → 𝑣 = 𝑤 ) |
| 86 |
84 85
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑣 = 𝑤 → ( ( 𝑅 ‘ 𝑣 ) / 𝑣 ) = ( ( 𝑅 ‘ 𝑤 ) / 𝑤 ) ) |
| 87 |
86
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑣 = 𝑤 → ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑣 ) / 𝑣 ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑤 ) / 𝑤 ) ) ) |
| 88 |
87
|
breq1d |
⊢ ( 𝑣 = 𝑤 → ( ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑣 ) / 𝑣 ) ) ≤ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ↔ ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑤 ) / 𝑤 ) ) ≤ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ) ) |
| 89 |
88
|
rspcv |
⊢ ( 𝑤 ∈ ( 𝑤 [,) +∞ ) → ( ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑤 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑣 ) / 𝑣 ) ) ≤ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑤 ) / 𝑤 ) ) ≤ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ) ) |
| 90 |
83 89
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) → ( ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑤 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑣 ) / 𝑣 ) ) ≤ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑤 ) / 𝑤 ) ) ≤ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ) ) |
| 91 |
1
|
pntrf |
⊢ 𝑅 : ℝ+ ⟶ ℝ |
| 92 |
91
|
ffvelcdmi |
⊢ ( 𝑤 ∈ ℝ+ → ( 𝑅 ‘ 𝑤 ) ∈ ℝ ) |
| 93 |
|
rerpdivcl |
⊢ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝑤 ) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝑤 ) / 𝑤 ) ∈ ℝ ) |
| 94 |
92 93
|
mpancom |
⊢ ( 𝑤 ∈ ℝ+ → ( ( 𝑅 ‘ 𝑤 ) / 𝑤 ) ∈ ℝ ) |
| 95 |
94
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝑤 ) / 𝑤 ) ∈ ℝ ) |
| 96 |
95
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝑤 ) / 𝑤 ) ∈ ℂ ) |
| 97 |
96
|
absge0d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) → 0 ≤ ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑤 ) / 𝑤 ) ) ) |
| 98 |
96
|
abscld |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) → ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑤 ) / 𝑤 ) ) ∈ ℝ ) |
| 99 |
49
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ∈ ℝ ) |
| 100 |
|
letr |
⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑤 ) / 𝑤 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ∈ ℝ ) → ( ( 0 ≤ ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑤 ) / 𝑤 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑤 ) / 𝑤 ) ) ≤ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ) → 0 ≤ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ) ) |
| 101 |
32 98 99 100
|
mp3an2i |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) → ( ( 0 ≤ ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑤 ) / 𝑤 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑤 ) / 𝑤 ) ) ≤ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ) → 0 ≤ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ) ) |
| 102 |
97 101
|
mpand |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑤 ) / 𝑤 ) ) ≤ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) → 0 ≤ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ) ) |
| 103 |
90 102
|
syld |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) → ( ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑤 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑣 ) / 𝑣 ) ) ≤ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) → 0 ≤ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ) ) |
| 104 |
103
|
rexlimdva |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → ( ∃ 𝑤 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑤 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑣 ) / 𝑣 ) ) ≤ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) → 0 ≤ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ) ) |
| 105 |
77 104
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → 0 ≤ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ) |
| 106 |
47
|
rpge0d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → 0 ≤ ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) |
| 107 |
38 48
|
subge02d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → ( 0 ≤ ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ↔ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ≤ 𝑟 ) ) |
| 108 |
106 107
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ≤ 𝑟 ) |
| 109 |
49 38 34 108 54
|
letrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ≤ 𝐴 ) |
| 110 |
|
elicc2 |
⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ∧ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ≤ 𝐴 ) ) ) |
| 111 |
32 34 110
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → ( ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ∧ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ≤ 𝐴 ) ) ) |
| 112 |
49 105 109 111
|
mpbir3and |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) |
| 113 |
112 77
|
jca |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) → ( ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑤 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑤 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑣 ) / 𝑣 ) ) ≤ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ) ) |
| 114 |
113
|
rexlimdvaa |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) → ( ∃ 𝑠 ∈ ℝ+ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑠 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 → ( ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑤 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑤 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑣 ) / 𝑣 ) ) ≤ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ) ) ) |
| 115 |
30 114
|
biimtrid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑦 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 → ( ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑤 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑤 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑣 ) / 𝑣 ) ) ≤ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ) ) ) |
| 116 |
115
|
anassrs |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ≠ 0 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑦 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 → ( ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑤 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑤 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑣 ) / 𝑣 ) ) ≤ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ) ) ) |
| 117 |
116
|
expimpd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ≠ 0 ) → ( ( 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑦 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) → ( ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑤 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑤 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑣 ) / 𝑣 ) ) ≤ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ) ) ) |
| 118 |
|
breq2 |
⊢ ( 𝑡 = 𝑟 → ( ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑡 ↔ ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) |
| 119 |
118
|
rexralbidv |
⊢ ( 𝑡 = 𝑟 → ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑦 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑡 ↔ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑦 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) |
| 120 |
119
|
elrab |
⊢ ( 𝑟 ∈ { 𝑡 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ∣ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑦 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑡 } ↔ ( 𝑟 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑦 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑟 ) ) |
| 121 |
|
breq2 |
⊢ ( 𝑡 = ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑡 ↔ ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ) ) |
| 122 |
121
|
rexralbidv |
⊢ ( 𝑡 = ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑦 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑡 ↔ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑦 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ) ) |
| 123 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑣 = 𝑧 → ( 𝑅 ‘ 𝑣 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) ) |
| 124 |
|
id |
⊢ ( 𝑣 = 𝑧 → 𝑣 = 𝑧 ) |
| 125 |
123 124
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑣 = 𝑧 → ( ( 𝑅 ‘ 𝑣 ) / 𝑣 ) = ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) |
| 126 |
125
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑣 = 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑣 ) / 𝑣 ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ) |
| 127 |
126
|
breq1d |
⊢ ( 𝑣 = 𝑧 → ( ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑣 ) / 𝑣 ) ) ≤ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ↔ ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ) ) |
| 128 |
127
|
cbvralvw |
⊢ ( ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑤 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑣 ) / 𝑣 ) ) ≤ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ↔ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑤 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ) |
| 129 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑤 = 𝑦 → ( 𝑤 [,) +∞ ) = ( 𝑦 [,) +∞ ) ) |
| 130 |
129
|
raleqdv |
⊢ ( 𝑤 = 𝑦 → ( ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑤 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ↔ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑦 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ) ) |
| 131 |
128 130
|
bitrid |
⊢ ( 𝑤 = 𝑦 → ( ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑤 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑣 ) / 𝑣 ) ) ≤ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ↔ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑦 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ) ) |
| 132 |
131
|
cbvrexvw |
⊢ ( ∃ 𝑤 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑤 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑣 ) / 𝑣 ) ) ≤ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑦 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ) |
| 133 |
122 132
|
bitr4di |
⊢ ( 𝑡 = ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑦 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑡 ↔ ∃ 𝑤 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑤 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑣 ) / 𝑣 ) ) ≤ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ) ) |
| 134 |
133
|
elrab |
⊢ ( ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ∈ { 𝑡 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ∣ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑦 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑡 } ↔ ( ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑤 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑤 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑣 ) / 𝑣 ) ) ≤ ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ) ) |
| 135 |
117 120 134
|
3imtr4g |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ≠ 0 ) → ( 𝑟 ∈ { 𝑡 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ∣ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑦 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑡 } → ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ∈ { 𝑡 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ∣ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑦 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑡 } ) ) |
| 136 |
135
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ≠ 0 ) ∧ 𝑟 ∈ { 𝑡 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ∣ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑦 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑡 } ) → ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ∈ { 𝑡 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ∣ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑦 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑡 } ) |
| 137 |
136
|
an32s |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ { 𝑡 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ∣ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑦 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑡 } ) ∧ 𝑟 ≠ 0 ) → ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ∈ { 𝑡 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ∣ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑦 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑡 } ) |
| 138 |
27 137
|
pm2.61dane |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑟 ∈ { 𝑡 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ∣ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑦 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑡 } ) → ( 𝑟 − ( 𝐹 · ( 𝑟 ↑ 3 ) ) ) ∈ { 𝑡 ∈ ( 0 [,] 𝐴 ) ∣ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑦 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑧 ) / 𝑧 ) ) ≤ 𝑡 } ) |
| 139 |
1 2 3 9 11 138
|
pntlem3 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( ( ψ ‘ 𝑥 ) / 𝑥 ) ) ⇝𝑟 1 ) |