| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
pntpbnd.r |
⊢ 𝑅 = ( 𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ( ( ψ ‘ 𝑎 ) − 𝑎 ) ) |
| 2 |
|
ioossre |
⊢ ( 1 (,) +∞ ) ⊆ ℝ |
| 3 |
2
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) → ( 1 (,) +∞ ) ⊆ ℝ ) |
| 4 |
|
1red |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) → 1 ∈ ℝ ) |
| 5 |
3
|
sselda |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → 𝑥 ∈ ℝ ) |
| 6 |
|
1rp |
⊢ 1 ∈ ℝ+ |
| 7 |
6
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → 1 ∈ ℝ+ ) |
| 8 |
|
1red |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → 1 ∈ ℝ ) |
| 9 |
|
eliooord |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) → ( 1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞ ) ) |
| 10 |
9
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( 1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞ ) ) |
| 11 |
10
|
simpld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → 1 < 𝑥 ) |
| 12 |
8 5 11
|
ltled |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → 1 ≤ 𝑥 ) |
| 13 |
5 7 12
|
rpgecld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → 𝑥 ∈ ℝ+ ) |
| 14 |
1
|
pntrf |
⊢ 𝑅 : ℝ+ ⟶ ℝ |
| 15 |
14
|
ffvelrni |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
| 16 |
13 15
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
| 17 |
16
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
| 18 |
17
|
abscld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) |
| 19 |
13
|
relogcld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( log ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
| 20 |
18 19
|
remulcld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) |
| 21 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
| 22 |
21
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → 2 ∈ ℝ ) |
| 23 |
5 11
|
rplogcld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( log ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ+ ) |
| 24 |
22 23
|
rerpdivcld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( 2 / ( log ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) |
| 25 |
|
fzfid |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ∈ Fin ) |
| 26 |
13
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ+ ) |
| 27 |
|
elfznn |
⊢ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) → 𝑛 ∈ ℕ ) |
| 28 |
27
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ) → 𝑛 ∈ ℕ ) |
| 29 |
28
|
nnrpd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ) → 𝑛 ∈ ℝ+ ) |
| 30 |
26 29
|
rpdivcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ) → ( 𝑥 / 𝑛 ) ∈ ℝ+ ) |
| 31 |
14
|
ffvelrni |
⊢ ( ( 𝑥 / 𝑛 ) ∈ ℝ+ → ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ∈ ℝ ) |
| 32 |
30 31
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ∈ ℝ ) |
| 33 |
32
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ∈ ℂ ) |
| 34 |
33
|
abscld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ∈ ℝ ) |
| 35 |
29
|
relogcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ) → ( log ‘ 𝑛 ) ∈ ℝ ) |
| 36 |
34 35
|
remulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ∈ ℝ ) |
| 37 |
25 36
|
fsumrecl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ∈ ℝ ) |
| 38 |
24 37
|
remulcld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( 2 / ( log ‘ 𝑥 ) ) · Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ∈ ℝ ) |
| 39 |
20 38
|
resubcld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( 2 / ( log ‘ 𝑥 ) ) · Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
| 40 |
39 13
|
rerpdivcld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( 2 / ( log ‘ 𝑥 ) ) · Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) / 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
| 41 |
1
|
pntrmax |
⊢ ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ∀ 𝑦 ∈ ℝ+ ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑦 ) / 𝑦 ) ) ≤ 𝑐 |
| 42 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑎 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑖 ) · ( ( log ‘ 𝑖 ) + ( ψ ‘ ( 𝑎 / 𝑖 ) ) ) ) ) = ( 𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑎 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑖 ) · ( ( log ‘ 𝑖 ) + ( ψ ‘ ( 𝑎 / 𝑖 ) ) ) ) ) |
| 43 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑎 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑎 ∈ ℝ+ , ( 𝑎 · ( log ‘ 𝑎 ) ) , 0 ) ) = ( 𝑎 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑎 ∈ ℝ+ , ( 𝑎 · ( log ‘ 𝑎 ) ) , 0 ) ) |
| 44 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑦 ∈ ℝ+ ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑦 ) / 𝑦 ) ) ≤ 𝑐 ) ) → 𝑐 ∈ ℝ+ ) |
| 45 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑦 ∈ ℝ+ ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑦 ) / 𝑦 ) ) ≤ 𝑐 ) ) → ∀ 𝑦 ∈ ℝ+ ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑦 ) / 𝑦 ) ) ≤ 𝑐 ) |
| 46 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑦 ∈ ℝ+ ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑦 ) / 𝑦 ) ) ≤ 𝑐 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
| 47 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑦 ∈ ℝ+ ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑦 ) / 𝑦 ) ) ≤ 𝑐 ) ) → 1 ≤ 𝐴 ) |
| 48 |
42 1 43 44 45 46 47
|
pntrlog2bndlem6 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑦 ∈ ℝ+ ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑦 ) / 𝑦 ) ) ≤ 𝑐 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ↦ ( ( ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( 2 / ( log ‘ 𝑥 ) ) · Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) / 𝑥 ) ) ∈ ≤𝑂(1) ) |
| 49 |
48
|
rexlimdvaa |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) → ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ∀ 𝑦 ∈ ℝ+ ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑦 ) / 𝑦 ) ) ≤ 𝑐 → ( 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ↦ ( ( ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( 2 / ( log ‘ 𝑥 ) ) · Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) / 𝑥 ) ) ∈ ≤𝑂(1) ) ) |
| 50 |
41 49
|
mpi |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) → ( 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ↦ ( ( ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( 2 / ( log ‘ 𝑥 ) ) · Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) / 𝑥 ) ) ∈ ≤𝑂(1) ) |
| 51 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ) → 𝑦 ∈ ℝ ) |
| 52 |
|
chpcl |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ → ( ψ ‘ 𝑦 ) ∈ ℝ ) |
| 53 |
51 52
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ) → ( ψ ‘ 𝑦 ) ∈ ℝ ) |
| 54 |
53 51
|
readdcld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ) → ( ( ψ ‘ 𝑦 ) + 𝑦 ) ∈ ℝ ) |
| 55 |
6
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ) → 1 ∈ ℝ+ ) |
| 56 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ) → 1 ≤ 𝑦 ) |
| 57 |
51 55 56
|
rpgecld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ) → 𝑦 ∈ ℝ+ ) |
| 58 |
57
|
relogcld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ) → ( log ‘ 𝑦 ) ∈ ℝ ) |
| 59 |
54 58
|
remulcld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ) → ( ( ( ψ ‘ 𝑦 ) + 𝑦 ) · ( log ‘ 𝑦 ) ) ∈ ℝ ) |
| 60 |
40
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( ( ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( 2 / ( log ‘ 𝑥 ) ) · Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) / 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
| 61 |
53
|
ad2ant2r |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( ψ ‘ 𝑦 ) ∈ ℝ ) |
| 62 |
|
simprll |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → 𝑦 ∈ ℝ ) |
| 63 |
61 62
|
readdcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( ( ψ ‘ 𝑦 ) + 𝑦 ) ∈ ℝ ) |
| 64 |
57
|
ad2ant2r |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → 𝑦 ∈ ℝ+ ) |
| 65 |
64
|
relogcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( log ‘ 𝑦 ) ∈ ℝ ) |
| 66 |
63 65
|
remulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( ( ( ψ ‘ 𝑦 ) + 𝑦 ) · ( log ‘ 𝑦 ) ) ∈ ℝ ) |
| 67 |
13
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ+ ) |
| 68 |
66 67
|
rerpdivcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( ( ( ( ψ ‘ 𝑦 ) + 𝑦 ) · ( log ‘ 𝑦 ) ) / 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
| 69 |
16
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
| 70 |
69
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
| 71 |
70
|
abscld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) |
| 72 |
67
|
relogcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( log ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
| 73 |
71 72
|
remulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) |
| 74 |
24
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( 2 / ( log ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) |
| 75 |
37
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ∈ ℝ ) |
| 76 |
74 75
|
remulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( ( 2 / ( log ‘ 𝑥 ) ) · Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ∈ ℝ ) |
| 77 |
73 76
|
resubcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( 2 / ( log ‘ 𝑥 ) ) · Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
| 78 |
21
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → 2 ∈ ℝ ) |
| 79 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ ) |
| 80 |
11
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → 1 < 𝑥 ) |
| 81 |
79 80
|
rplogcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( log ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ+ ) |
| 82 |
|
2rp |
⊢ 2 ∈ ℝ+ |
| 83 |
82
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → 2 ∈ ℝ+ ) |
| 84 |
83
|
rpge0d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → 0 ≤ 2 ) |
| 85 |
78 81 84
|
divge0d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → 0 ≤ ( 2 / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) |
| 86 |
|
fzfid |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ∈ Fin ) |
| 87 |
36
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ∈ ℝ ) |
| 88 |
33
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ∈ ℂ ) |
| 89 |
88
|
abscld |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ∈ ℝ ) |
| 90 |
29
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ) → 𝑛 ∈ ℝ+ ) |
| 91 |
90
|
relogcld |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ) → ( log ‘ 𝑛 ) ∈ ℝ ) |
| 92 |
88
|
absge0d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ) → 0 ≤ ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) |
| 93 |
90
|
rpred |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ) → 𝑛 ∈ ℝ ) |
| 94 |
27
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ) → 𝑛 ∈ ℕ ) |
| 95 |
94
|
nnge1d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ) → 1 ≤ 𝑛 ) |
| 96 |
93 95
|
logge0d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ) → 0 ≤ ( log ‘ 𝑛 ) ) |
| 97 |
89 91 92 96
|
mulge0d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ) → 0 ≤ ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) |
| 98 |
86 87 97
|
fsumge0 |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → 0 ≤ Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) |
| 99 |
74 75 85 98
|
mulge0d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → 0 ≤ ( ( 2 / ( log ‘ 𝑥 ) ) · Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) |
| 100 |
73 76
|
subge02d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( 0 ≤ ( ( 2 / ( log ‘ 𝑥 ) ) · Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ↔ ( ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( 2 / ( log ‘ 𝑥 ) ) · Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) ≤ ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
| 101 |
99 100
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( 2 / ( log ‘ 𝑥 ) ) · Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) ≤ ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) |
| 102 |
70
|
absge0d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → 0 ≤ ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) |
| 103 |
81
|
rpge0d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → 0 ≤ ( log ‘ 𝑥 ) ) |
| 104 |
|
chpcl |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( ψ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
| 105 |
79 104
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( ψ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
| 106 |
105 79
|
readdcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( ( ψ ‘ 𝑥 ) + 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
| 107 |
1
|
pntrval |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) = ( ( ψ ‘ 𝑥 ) − 𝑥 ) ) |
| 108 |
67 107
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) = ( ( ψ ‘ 𝑥 ) − 𝑥 ) ) |
| 109 |
108
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( ( ψ ‘ 𝑥 ) − 𝑥 ) ) ) |
| 110 |
105
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( ψ ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
| 111 |
79
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
| 112 |
110 111
|
abs2dif2d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( abs ‘ ( ( ψ ‘ 𝑥 ) − 𝑥 ) ) ≤ ( ( abs ‘ ( ψ ‘ 𝑥 ) ) + ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) |
| 113 |
|
chpge0 |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ ( ψ ‘ 𝑥 ) ) |
| 114 |
79 113
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → 0 ≤ ( ψ ‘ 𝑥 ) ) |
| 115 |
105 114
|
absidd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( abs ‘ ( ψ ‘ 𝑥 ) ) = ( ψ ‘ 𝑥 ) ) |
| 116 |
67
|
rpge0d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → 0 ≤ 𝑥 ) |
| 117 |
79 116
|
absidd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( abs ‘ 𝑥 ) = 𝑥 ) |
| 118 |
115 117
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( ( abs ‘ ( ψ ‘ 𝑥 ) ) + ( abs ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ψ ‘ 𝑥 ) + 𝑥 ) ) |
| 119 |
112 118
|
breqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( abs ‘ ( ( ψ ‘ 𝑥 ) − 𝑥 ) ) ≤ ( ( ψ ‘ 𝑥 ) + 𝑥 ) ) |
| 120 |
109 119
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ≤ ( ( ψ ‘ 𝑥 ) + 𝑥 ) ) |
| 121 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → 𝑥 < 𝑦 ) |
| 122 |
79 62 121
|
ltled |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → 𝑥 ≤ 𝑦 ) |
| 123 |
|
chpwordi |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝑦 ) → ( ψ ‘ 𝑥 ) ≤ ( ψ ‘ 𝑦 ) ) |
| 124 |
79 62 122 123
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( ψ ‘ 𝑥 ) ≤ ( ψ ‘ 𝑦 ) ) |
| 125 |
105 79 61 62 124 122
|
le2addd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( ( ψ ‘ 𝑥 ) + 𝑥 ) ≤ ( ( ψ ‘ 𝑦 ) + 𝑦 ) ) |
| 126 |
71 106 63 120 125
|
letrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ≤ ( ( ψ ‘ 𝑦 ) + 𝑦 ) ) |
| 127 |
67 64
|
logled |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ( log ‘ 𝑥 ) ≤ ( log ‘ 𝑦 ) ) ) |
| 128 |
122 127
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( log ‘ 𝑥 ) ≤ ( log ‘ 𝑦 ) ) |
| 129 |
71 63 72 65 102 103 126 128
|
lemul12ad |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ≤ ( ( ( ψ ‘ 𝑦 ) + 𝑦 ) · ( log ‘ 𝑦 ) ) ) |
| 130 |
77 73 66 101 129
|
letrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( 2 / ( log ‘ 𝑥 ) ) · Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) ≤ ( ( ( ψ ‘ 𝑦 ) + 𝑦 ) · ( log ‘ 𝑦 ) ) ) |
| 131 |
77 66 67 130
|
lediv1dd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( ( ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( 2 / ( log ‘ 𝑥 ) ) · Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) / 𝑥 ) ≤ ( ( ( ( ψ ‘ 𝑦 ) + 𝑦 ) · ( log ‘ 𝑦 ) ) / 𝑥 ) ) |
| 132 |
6
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → 1 ∈ ℝ+ ) |
| 133 |
|
chpge0 |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ → 0 ≤ ( ψ ‘ 𝑦 ) ) |
| 134 |
62 133
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → 0 ≤ ( ψ ‘ 𝑦 ) ) |
| 135 |
64
|
rpge0d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → 0 ≤ 𝑦 ) |
| 136 |
61 62 134 135
|
addge0d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → 0 ≤ ( ( ψ ‘ 𝑦 ) + 𝑦 ) ) |
| 137 |
|
simprlr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → 1 ≤ 𝑦 ) |
| 138 |
62 137
|
logge0d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → 0 ≤ ( log ‘ 𝑦 ) ) |
| 139 |
63 65 136 138
|
mulge0d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → 0 ≤ ( ( ( ψ ‘ 𝑦 ) + 𝑦 ) · ( log ‘ 𝑦 ) ) ) |
| 140 |
12
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → 1 ≤ 𝑥 ) |
| 141 |
132 67 66 139 140
|
lediv2ad |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( ( ( ( ψ ‘ 𝑦 ) + 𝑦 ) · ( log ‘ 𝑦 ) ) / 𝑥 ) ≤ ( ( ( ( ψ ‘ 𝑦 ) + 𝑦 ) · ( log ‘ 𝑦 ) ) / 1 ) ) |
| 142 |
61
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( ψ ‘ 𝑦 ) ∈ ℂ ) |
| 143 |
62
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → 𝑦 ∈ ℂ ) |
| 144 |
142 143
|
addcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( ( ψ ‘ 𝑦 ) + 𝑦 ) ∈ ℂ ) |
| 145 |
65
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( log ‘ 𝑦 ) ∈ ℂ ) |
| 146 |
144 145
|
mulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( ( ( ψ ‘ 𝑦 ) + 𝑦 ) · ( log ‘ 𝑦 ) ) ∈ ℂ ) |
| 147 |
146
|
div1d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( ( ( ( ψ ‘ 𝑦 ) + 𝑦 ) · ( log ‘ 𝑦 ) ) / 1 ) = ( ( ( ψ ‘ 𝑦 ) + 𝑦 ) · ( log ‘ 𝑦 ) ) ) |
| 148 |
141 147
|
breqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( ( ( ( ψ ‘ 𝑦 ) + 𝑦 ) · ( log ‘ 𝑦 ) ) / 𝑥 ) ≤ ( ( ( ψ ‘ 𝑦 ) + 𝑦 ) · ( log ‘ 𝑦 ) ) ) |
| 149 |
60 68 66 131 148
|
letrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 < 𝑦 ) ) → ( ( ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( 2 / ( log ‘ 𝑥 ) ) · Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) / 𝑥 ) ≤ ( ( ( ψ ‘ 𝑦 ) + 𝑦 ) · ( log ‘ 𝑦 ) ) ) |
| 150 |
3 4 40 50 59 149
|
lo1bddrp |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ) → ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ∀ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ( ( ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( 2 / ( log ‘ 𝑥 ) ) · Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 / 𝐴 ) ) ) ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) / 𝑥 ) ≤ 𝑐 ) |