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Theorem poclOLD

Description: Obsolete version of pocl as of 3-Oct-2024. (Contributed by NM, 27-Mar-1997) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion poclOLD ( 𝑅 Po 𝐴 → ( ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴 ) → ( ¬ 𝐵 𝑅 𝐵 ∧ ( ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝐷 ) → 𝐵 𝑅 𝐷 ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 id ⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → 𝑥 = 𝐵 )
2 1 1 breq12d ⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → ( 𝑥 𝑅 𝑥 ↔ 𝐵 𝑅 𝐵 ) )
3 2 notbid ⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ↔ ¬ 𝐵 𝑅 𝐵 ) )
4 breq1 ⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → ( 𝑥 𝑅 𝑦 ↔ 𝐵 𝑅 𝑦 ) )
5 4 anbi1d ⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) ↔ ( 𝐵 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) ) )
6 breq1 ⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → ( 𝑥 𝑅 𝑧 ↔ 𝐵 𝑅 𝑧 ) )
7 5 6 imbi12d ⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → ( ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ↔ ( ( 𝐵 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝐵 𝑅 𝑧 ) ) )
8 3 7 anbi12d ⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → ( ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ↔ ( ¬ 𝐵 𝑅 𝐵 ∧ ( ( 𝐵 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝐵 𝑅 𝑧 ) ) ) )
9 8 imbi2d ⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → ( ( 𝑅 Po 𝐴 → ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ) ↔ ( 𝑅 Po 𝐴 → ( ¬ 𝐵 𝑅 𝐵 ∧ ( ( 𝐵 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝐵 𝑅 𝑧 ) ) ) ) )
10 breq2 ⊢ ( 𝑦 = 𝐶 → ( 𝐵 𝑅 𝑦 ↔ 𝐵 𝑅 𝐶 ) )
11 breq1 ⊢ ( 𝑦 = 𝐶 → ( 𝑦 𝑅 𝑧 ↔ 𝐶 𝑅 𝑧 ) )
12 10 11 anbi12d ⊢ ( 𝑦 = 𝐶 → ( ( 𝐵 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) ↔ ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝑧 ) ) )
13 12 imbi1d ⊢ ( 𝑦 = 𝐶 → ( ( ( 𝐵 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝐵 𝑅 𝑧 ) ↔ ( ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝑧 ) → 𝐵 𝑅 𝑧 ) ) )
14 13 anbi2d ⊢ ( 𝑦 = 𝐶 → ( ( ¬ 𝐵 𝑅 𝐵 ∧ ( ( 𝐵 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝐵 𝑅 𝑧 ) ) ↔ ( ¬ 𝐵 𝑅 𝐵 ∧ ( ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝑧 ) → 𝐵 𝑅 𝑧 ) ) ) )
15 14 imbi2d ⊢ ( 𝑦 = 𝐶 → ( ( 𝑅 Po 𝐴 → ( ¬ 𝐵 𝑅 𝐵 ∧ ( ( 𝐵 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝐵 𝑅 𝑧 ) ) ) ↔ ( 𝑅 Po 𝐴 → ( ¬ 𝐵 𝑅 𝐵 ∧ ( ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝑧 ) → 𝐵 𝑅 𝑧 ) ) ) ) )
16 breq2 ⊢ ( 𝑧 = 𝐷 → ( 𝐶 𝑅 𝑧 ↔ 𝐶 𝑅 𝐷 ) )
17 16 anbi2d ⊢ ( 𝑧 = 𝐷 → ( ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝑧 ) ↔ ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝐷 ) ) )
18 breq2 ⊢ ( 𝑧 = 𝐷 → ( 𝐵 𝑅 𝑧 ↔ 𝐵 𝑅 𝐷 ) )
19 17 18 imbi12d ⊢ ( 𝑧 = 𝐷 → ( ( ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝑧 ) → 𝐵 𝑅 𝑧 ) ↔ ( ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝐷 ) → 𝐵 𝑅 𝐷 ) ) )
20 19 anbi2d ⊢ ( 𝑧 = 𝐷 → ( ( ¬ 𝐵 𝑅 𝐵 ∧ ( ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝑧 ) → 𝐵 𝑅 𝑧 ) ) ↔ ( ¬ 𝐵 𝑅 𝐵 ∧ ( ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝐷 ) → 𝐵 𝑅 𝐷 ) ) ) )
21 20 imbi2d ⊢ ( 𝑧 = 𝐷 → ( ( 𝑅 Po 𝐴 → ( ¬ 𝐵 𝑅 𝐵 ∧ ( ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝑧 ) → 𝐵 𝑅 𝑧 ) ) ) ↔ ( 𝑅 Po 𝐴 → ( ¬ 𝐵 𝑅 𝐵 ∧ ( ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝐷 ) → 𝐵 𝑅 𝐷 ) ) ) ) )
22 df-po ⊢ ( 𝑅 Po 𝐴 ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) )
23 r3al ⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ∀ 𝑧 ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ) )
24 22 23 sylbb ⊢ ( 𝑅 Po 𝐴 → ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ∀ 𝑧 ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ) )
25 24 19.21bbi ⊢ ( 𝑅 Po 𝐴 → ∀ 𝑧 ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ) )
26 25 19.21bi ⊢ ( 𝑅 Po 𝐴 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ) )
27 26 com12 ⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑅 Po 𝐴 → ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ) )
28 9 15 21 27 vtocl3ga ⊢ ( ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑅 Po 𝐴 → ( ¬ 𝐵 𝑅 𝐵 ∧ ( ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝐷 ) → 𝐵 𝑅 𝐷 ) ) ) )
29 28 com12 ⊢ ( 𝑅 Po 𝐴 → ( ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴 ) → ( ¬ 𝐵 𝑅 𝐵 ∧ ( ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝐷 ) → 𝐵 𝑅 𝐷 ) ) ) )