Theorem ps-2c

Description: Variation of projective geometry axiom ps-2 . (Contributed by NM, 3-Jul-2012)

	Ref	Expression
Hypotheses	2atm.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	2atm.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	2atm.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
	2atm.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
Assertion	ps-2c	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2atm.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2		2atm.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3		2atm.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
4		2atm.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5		simp11	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
6		simp12	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
7		simp21	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 )
8	5	hllatd	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
9		eqid	⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
10	9 4	atbase	⊢ ( 𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
11	6 10	syl	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
12		simp13	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 )
13	9 4	atbase	⊢ ( 𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
14	12 13	syl	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
15	9 4	atbase	⊢ ( 𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
16	7 15	syl	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
17		simp31l	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) )
18	9 1 2	latnlej1r	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝑃 ≠ 𝑅 )
19	8 11 14 16 17 18	syl131anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → 𝑃 ≠ 𝑅 )
20		eqid	⊢ ( LLines ‘ 𝐾 ) = ( LLines ‘ 𝐾 )
21	2 4 20	llni2	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )
22	5 6 7 19 21	syl31anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )
23		simp22	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → 𝑆 ∈ 𝐴 )
24		simp23	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → 𝑇 ∈ 𝐴 )
25		simp31r	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → 𝑆 ≠ 𝑇 )
26	2 4 20	llni2	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) → ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )
27	5 23 24 25 26	syl31anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )
28		simp32	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) )
29		simp33	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) )
30		eqid	⊢ ( 0. ‘ 𝐾 ) = ( 0. ‘ 𝐾 )
31	1 2 3 30 4	ps-2b	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≠ ( 0. ‘ 𝐾 ) )
32	5 6 12 7 23 24 17 25 29 31	syl333anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≠ ( 0. ‘ 𝐾 ) )
33	3 30 4 20	2llnmat	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≠ ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
34	5 22 27 28 32 33	syl32anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )