Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
psrascl.s |
โข ๐ = ( ๐ผ mPwSer ๐
) |
2 |
|
psrascl.d |
โข ๐ท = { ๐ โ ( โ0 โm ๐ผ ) โฃ ( โก ๐ โ โ ) โ Fin } |
3 |
|
psrascl.z |
โข 0 = ( 0g โ ๐
) |
4 |
|
psrascl.k |
โข ๐พ = ( Base โ ๐
) |
5 |
|
psrascl.a |
โข ๐ด = ( algSc โ ๐ ) |
6 |
|
psrascl.i |
โข ( ๐ โ ๐ผ โ ๐ ) |
7 |
|
psrascl.r |
โข ( ๐ โ ๐
โ Ring ) |
8 |
|
psrascl.x |
โข ( ๐ โ ๐ โ ๐พ ) |
9 |
1 6 7
|
psrsca |
โข ( ๐ โ ๐
= ( Scalar โ ๐ ) ) |
10 |
9
|
fveq2d |
โข ( ๐ โ ( Base โ ๐
) = ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) ) |
11 |
4 10
|
eqtrid |
โข ( ๐ โ ๐พ = ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) ) |
12 |
8 11
|
eleqtrd |
โข ( ๐ โ ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) ) |
13 |
|
eqid |
โข ( Scalar โ ๐ ) = ( Scalar โ ๐ ) |
14 |
|
eqid |
โข ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) = ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) |
15 |
|
eqid |
โข ( ยท๐ โ ๐ ) = ( ยท๐ โ ๐ ) |
16 |
|
eqid |
โข ( 1r โ ๐ ) = ( 1r โ ๐ ) |
17 |
5 13 14 15 16
|
asclval |
โข ( ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) โ ( ๐ด โ ๐ ) = ( ๐ ( ยท๐ โ ๐ ) ( 1r โ ๐ ) ) ) |
18 |
12 17
|
syl |
โข ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) = ( ๐ ( ยท๐ โ ๐ ) ( 1r โ ๐ ) ) ) |
19 |
|
eqid |
โข ( Base โ ๐ ) = ( Base โ ๐ ) |
20 |
|
eqid |
โข ( .r โ ๐
) = ( .r โ ๐
) |
21 |
1 6 7
|
psrring |
โข ( ๐ โ ๐ โ Ring ) |
22 |
19 16
|
ringidcl |
โข ( ๐ โ Ring โ ( 1r โ ๐ ) โ ( Base โ ๐ ) ) |
23 |
21 22
|
syl |
โข ( ๐ โ ( 1r โ ๐ ) โ ( Base โ ๐ ) ) |
24 |
1 15 4 19 20 2 8 23
|
psrvsca |
โข ( ๐ โ ( ๐ ( ยท๐ โ ๐ ) ( 1r โ ๐ ) ) = ( ( ๐ท ร { ๐ } ) โf ( .r โ ๐
) ( 1r โ ๐ ) ) ) |
25 |
|
fnconstg |
โข ( ๐ โ ๐พ โ ( ๐ท ร { ๐ } ) Fn ๐ท ) |
26 |
8 25
|
syl |
โข ( ๐ โ ( ๐ท ร { ๐ } ) Fn ๐ท ) |
27 |
1 4 2 19 23
|
psrelbas |
โข ( ๐ โ ( 1r โ ๐ ) : ๐ท โถ ๐พ ) |
28 |
27
|
ffnd |
โข ( ๐ โ ( 1r โ ๐ ) Fn ๐ท ) |
29 |
|
ovexd |
โข ( ๐ โ ( โ0 โm ๐ผ ) โ V ) |
30 |
2 29
|
rabexd |
โข ( ๐ โ ๐ท โ V ) |
31 |
|
inidm |
โข ( ๐ท โฉ ๐ท ) = ๐ท |
32 |
|
fvconst2g |
โข ( ( ๐ โ ๐พ โง ๐ฆ โ ๐ท ) โ ( ( ๐ท ร { ๐ } ) โ ๐ฆ ) = ๐ ) |
33 |
8 32
|
sylan |
โข ( ( ๐ โง ๐ฆ โ ๐ท ) โ ( ( ๐ท ร { ๐ } ) โ ๐ฆ ) = ๐ ) |
34 |
|
eqid |
โข ( 1r โ ๐
) = ( 1r โ ๐
) |
35 |
1 6 7 2 3 34 16
|
psr1 |
โข ( ๐ โ ( 1r โ ๐ ) = ( ๐ โ ๐ท โฆ if ( ๐ = ( ๐ผ ร { 0 } ) , ( 1r โ ๐
) , 0 ) ) ) |
36 |
35
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ฆ โ ๐ท ) โ ( 1r โ ๐ ) = ( ๐ โ ๐ท โฆ if ( ๐ = ( ๐ผ ร { 0 } ) , ( 1r โ ๐
) , 0 ) ) ) |
37 |
36
|
fveq1d |
โข ( ( ๐ โง ๐ฆ โ ๐ท ) โ ( ( 1r โ ๐ ) โ ๐ฆ ) = ( ( ๐ โ ๐ท โฆ if ( ๐ = ( ๐ผ ร { 0 } ) , ( 1r โ ๐
) , 0 ) ) โ ๐ฆ ) ) |
38 |
|
eqeq1 |
โข ( ๐ = ๐ฆ โ ( ๐ = ( ๐ผ ร { 0 } ) โ ๐ฆ = ( ๐ผ ร { 0 } ) ) ) |
39 |
38
|
ifbid |
โข ( ๐ = ๐ฆ โ if ( ๐ = ( ๐ผ ร { 0 } ) , ( 1r โ ๐
) , 0 ) = if ( ๐ฆ = ( ๐ผ ร { 0 } ) , ( 1r โ ๐
) , 0 ) ) |
40 |
|
eqid |
โข ( ๐ โ ๐ท โฆ if ( ๐ = ( ๐ผ ร { 0 } ) , ( 1r โ ๐
) , 0 ) ) = ( ๐ โ ๐ท โฆ if ( ๐ = ( ๐ผ ร { 0 } ) , ( 1r โ ๐
) , 0 ) ) |
41 |
|
fvex |
โข ( 1r โ ๐
) โ V |
42 |
3
|
fvexi |
โข 0 โ V |
43 |
41 42
|
ifex |
โข if ( ๐ฆ = ( ๐ผ ร { 0 } ) , ( 1r โ ๐
) , 0 ) โ V |
44 |
39 40 43
|
fvmpt |
โข ( ๐ฆ โ ๐ท โ ( ( ๐ โ ๐ท โฆ if ( ๐ = ( ๐ผ ร { 0 } ) , ( 1r โ ๐
) , 0 ) ) โ ๐ฆ ) = if ( ๐ฆ = ( ๐ผ ร { 0 } ) , ( 1r โ ๐
) , 0 ) ) |
45 |
44
|
adantl |
โข ( ( ๐ โง ๐ฆ โ ๐ท ) โ ( ( ๐ โ ๐ท โฆ if ( ๐ = ( ๐ผ ร { 0 } ) , ( 1r โ ๐
) , 0 ) ) โ ๐ฆ ) = if ( ๐ฆ = ( ๐ผ ร { 0 } ) , ( 1r โ ๐
) , 0 ) ) |
46 |
37 45
|
eqtrd |
โข ( ( ๐ โง ๐ฆ โ ๐ท ) โ ( ( 1r โ ๐ ) โ ๐ฆ ) = if ( ๐ฆ = ( ๐ผ ร { 0 } ) , ( 1r โ ๐
) , 0 ) ) |
47 |
26 28 30 30 31 33 46
|
offval |
โข ( ๐ โ ( ( ๐ท ร { ๐ } ) โf ( .r โ ๐
) ( 1r โ ๐ ) ) = ( ๐ฆ โ ๐ท โฆ ( ๐ ( .r โ ๐
) if ( ๐ฆ = ( ๐ผ ร { 0 } ) , ( 1r โ ๐
) , 0 ) ) ) ) |
48 |
|
ovif2 |
โข ( ๐ ( .r โ ๐
) if ( ๐ฆ = ( ๐ผ ร { 0 } ) , ( 1r โ ๐
) , 0 ) ) = if ( ๐ฆ = ( ๐ผ ร { 0 } ) , ( ๐ ( .r โ ๐
) ( 1r โ ๐
) ) , ( ๐ ( .r โ ๐
) 0 ) ) |
49 |
4 20 34 7 8
|
ringridmd |
โข ( ๐ โ ( ๐ ( .r โ ๐
) ( 1r โ ๐
) ) = ๐ ) |
50 |
4 20 3 7 8
|
ringrzd |
โข ( ๐ โ ( ๐ ( .r โ ๐
) 0 ) = 0 ) |
51 |
49 50
|
ifeq12d |
โข ( ๐ โ if ( ๐ฆ = ( ๐ผ ร { 0 } ) , ( ๐ ( .r โ ๐
) ( 1r โ ๐
) ) , ( ๐ ( .r โ ๐
) 0 ) ) = if ( ๐ฆ = ( ๐ผ ร { 0 } ) , ๐ , 0 ) ) |
52 |
48 51
|
eqtrid |
โข ( ๐ โ ( ๐ ( .r โ ๐
) if ( ๐ฆ = ( ๐ผ ร { 0 } ) , ( 1r โ ๐
) , 0 ) ) = if ( ๐ฆ = ( ๐ผ ร { 0 } ) , ๐ , 0 ) ) |
53 |
52
|
mpteq2dv |
โข ( ๐ โ ( ๐ฆ โ ๐ท โฆ ( ๐ ( .r โ ๐
) if ( ๐ฆ = ( ๐ผ ร { 0 } ) , ( 1r โ ๐
) , 0 ) ) ) = ( ๐ฆ โ ๐ท โฆ if ( ๐ฆ = ( ๐ผ ร { 0 } ) , ๐ , 0 ) ) ) |
54 |
47 53
|
eqtrd |
โข ( ๐ โ ( ( ๐ท ร { ๐ } ) โf ( .r โ ๐
) ( 1r โ ๐ ) ) = ( ๐ฆ โ ๐ท โฆ if ( ๐ฆ = ( ๐ผ ร { 0 } ) , ๐ , 0 ) ) ) |
55 |
18 24 54
|
3eqtrd |
โข ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) = ( ๐ฆ โ ๐ท โฆ if ( ๐ฆ = ( ๐ผ ร { 0 } ) , ๐ , 0 ) ) ) |