Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
pwsmulg.y |
โข ๐ = ( ๐
โs ๐ผ ) |
2 |
|
pwsmulg.b |
โข ๐ต = ( Base โ ๐ ) |
3 |
|
pwsmulg.s |
โข โ = ( .g โ ๐ ) |
4 |
|
pwsmulg.t |
โข ยท = ( .g โ ๐
) |
5 |
|
simpll |
โข ( ( ( ๐
โ Mnd โง ๐ผ โ ๐ ) โง ( ๐ โ โ0 โง ๐ โ ๐ต โง ๐ด โ ๐ผ ) ) โ ๐
โ Mnd ) |
6 |
|
simplr |
โข ( ( ( ๐
โ Mnd โง ๐ผ โ ๐ ) โง ( ๐ โ โ0 โง ๐ โ ๐ต โง ๐ด โ ๐ผ ) ) โ ๐ผ โ ๐ ) |
7 |
|
simpr3 |
โข ( ( ( ๐
โ Mnd โง ๐ผ โ ๐ ) โง ( ๐ โ โ0 โง ๐ โ ๐ต โง ๐ด โ ๐ผ ) ) โ ๐ด โ ๐ผ ) |
8 |
1 2
|
pwspjmhm |
โข ( ( ๐
โ Mnd โง ๐ผ โ ๐ โง ๐ด โ ๐ผ ) โ ( ๐ฅ โ ๐ต โฆ ( ๐ฅ โ ๐ด ) ) โ ( ๐ MndHom ๐
) ) |
9 |
5 6 7 8
|
syl3anc |
โข ( ( ( ๐
โ Mnd โง ๐ผ โ ๐ ) โง ( ๐ โ โ0 โง ๐ โ ๐ต โง ๐ด โ ๐ผ ) ) โ ( ๐ฅ โ ๐ต โฆ ( ๐ฅ โ ๐ด ) ) โ ( ๐ MndHom ๐
) ) |
10 |
|
simpr1 |
โข ( ( ( ๐
โ Mnd โง ๐ผ โ ๐ ) โง ( ๐ โ โ0 โง ๐ โ ๐ต โง ๐ด โ ๐ผ ) ) โ ๐ โ โ0 ) |
11 |
|
simpr2 |
โข ( ( ( ๐
โ Mnd โง ๐ผ โ ๐ ) โง ( ๐ โ โ0 โง ๐ โ ๐ต โง ๐ด โ ๐ผ ) ) โ ๐ โ ๐ต ) |
12 |
2 3 4
|
mhmmulg |
โข ( ( ( ๐ฅ โ ๐ต โฆ ( ๐ฅ โ ๐ด ) ) โ ( ๐ MndHom ๐
) โง ๐ โ โ0 โง ๐ โ ๐ต ) โ ( ( ๐ฅ โ ๐ต โฆ ( ๐ฅ โ ๐ด ) ) โ ( ๐ โ ๐ ) ) = ( ๐ ยท ( ( ๐ฅ โ ๐ต โฆ ( ๐ฅ โ ๐ด ) ) โ ๐ ) ) ) |
13 |
9 10 11 12
|
syl3anc |
โข ( ( ( ๐
โ Mnd โง ๐ผ โ ๐ ) โง ( ๐ โ โ0 โง ๐ โ ๐ต โง ๐ด โ ๐ผ ) ) โ ( ( ๐ฅ โ ๐ต โฆ ( ๐ฅ โ ๐ด ) ) โ ( ๐ โ ๐ ) ) = ( ๐ ยท ( ( ๐ฅ โ ๐ต โฆ ( ๐ฅ โ ๐ด ) ) โ ๐ ) ) ) |
14 |
1
|
pwsmnd |
โข ( ( ๐
โ Mnd โง ๐ผ โ ๐ ) โ ๐ โ Mnd ) |
15 |
14
|
adantr |
โข ( ( ( ๐
โ Mnd โง ๐ผ โ ๐ ) โง ( ๐ โ โ0 โง ๐ โ ๐ต โง ๐ด โ ๐ผ ) ) โ ๐ โ Mnd ) |
16 |
2 3
|
mulgnn0cl |
โข ( ( ๐ โ Mnd โง ๐ โ โ0 โง ๐ โ ๐ต ) โ ( ๐ โ ๐ ) โ ๐ต ) |
17 |
15 10 11 16
|
syl3anc |
โข ( ( ( ๐
โ Mnd โง ๐ผ โ ๐ ) โง ( ๐ โ โ0 โง ๐ โ ๐ต โง ๐ด โ ๐ผ ) ) โ ( ๐ โ ๐ ) โ ๐ต ) |
18 |
|
fveq1 |
โข ( ๐ฅ = ( ๐ โ ๐ ) โ ( ๐ฅ โ ๐ด ) = ( ( ๐ โ ๐ ) โ ๐ด ) ) |
19 |
|
eqid |
โข ( ๐ฅ โ ๐ต โฆ ( ๐ฅ โ ๐ด ) ) = ( ๐ฅ โ ๐ต โฆ ( ๐ฅ โ ๐ด ) ) |
20 |
|
fvex |
โข ( ( ๐ โ ๐ ) โ ๐ด ) โ V |
21 |
18 19 20
|
fvmpt |
โข ( ( ๐ โ ๐ ) โ ๐ต โ ( ( ๐ฅ โ ๐ต โฆ ( ๐ฅ โ ๐ด ) ) โ ( ๐ โ ๐ ) ) = ( ( ๐ โ ๐ ) โ ๐ด ) ) |
22 |
17 21
|
syl |
โข ( ( ( ๐
โ Mnd โง ๐ผ โ ๐ ) โง ( ๐ โ โ0 โง ๐ โ ๐ต โง ๐ด โ ๐ผ ) ) โ ( ( ๐ฅ โ ๐ต โฆ ( ๐ฅ โ ๐ด ) ) โ ( ๐ โ ๐ ) ) = ( ( ๐ โ ๐ ) โ ๐ด ) ) |
23 |
|
fveq1 |
โข ( ๐ฅ = ๐ โ ( ๐ฅ โ ๐ด ) = ( ๐ โ ๐ด ) ) |
24 |
|
fvex |
โข ( ๐ โ ๐ด ) โ V |
25 |
23 19 24
|
fvmpt |
โข ( ๐ โ ๐ต โ ( ( ๐ฅ โ ๐ต โฆ ( ๐ฅ โ ๐ด ) ) โ ๐ ) = ( ๐ โ ๐ด ) ) |
26 |
11 25
|
syl |
โข ( ( ( ๐
โ Mnd โง ๐ผ โ ๐ ) โง ( ๐ โ โ0 โง ๐ โ ๐ต โง ๐ด โ ๐ผ ) ) โ ( ( ๐ฅ โ ๐ต โฆ ( ๐ฅ โ ๐ด ) ) โ ๐ ) = ( ๐ โ ๐ด ) ) |
27 |
26
|
oveq2d |
โข ( ( ( ๐
โ Mnd โง ๐ผ โ ๐ ) โง ( ๐ โ โ0 โง ๐ โ ๐ต โง ๐ด โ ๐ผ ) ) โ ( ๐ ยท ( ( ๐ฅ โ ๐ต โฆ ( ๐ฅ โ ๐ด ) ) โ ๐ ) ) = ( ๐ ยท ( ๐ โ ๐ด ) ) ) |
28 |
13 22 27
|
3eqtr3d |
โข ( ( ( ๐
โ Mnd โง ๐ผ โ ๐ ) โง ( ๐ โ โ0 โง ๐ โ ๐ต โง ๐ด โ ๐ผ ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) โ ๐ด ) = ( ๐ ยท ( ๐ โ ๐ด ) ) ) |