Theorem quotdgr

Description: Remainder property of the quotient function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014)

	Ref	Expression
Hypothesis	quotdgr.1	⊢ 𝑅 = ( 𝐹 ∘f − ( 𝐺 ∘f · ( 𝐹 quot 𝐺 ) ) )
Assertion	quotdgr	⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝 ) → ( 𝑅 = 0𝑝 ∨ ( deg ‘ 𝑅 ) < ( deg ‘ 𝐺 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quotdgr.1	⊢ 𝑅 = ( 𝐹 ∘f − ( 𝐺 ∘f · ( 𝐹 quot 𝐺 ) ) )
2		addcl	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ) → ( 𝑥 + 𝑦 ) ∈ ℂ )
3	2	adantl	⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ) ) → ( 𝑥 + 𝑦 ) ∈ ℂ )
4		mulcl	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ) → ( 𝑥 · 𝑦 ) ∈ ℂ )
5	4	adantl	⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ) ) → ( 𝑥 · 𝑦 ) ∈ ℂ )
6		reccl	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → ( 1 / 𝑥 ) ∈ ℂ )
7	6	adantl	⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ) → ( 1 / 𝑥 ) ∈ ℂ )
8		neg1cn	⊢ - 1 ∈ ℂ
9	8	a1i	⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝 ) → - 1 ∈ ℂ )
10		plyssc	⊢ ( Poly ‘ 𝑆 ) ⊆ ( Poly ‘ ℂ )
11		simp1	⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝 ) → 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) )
12	10 11	sseldi	⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝 ) → 𝐹 ∈ ( Poly ‘ ℂ ) )
13		simp2	⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝 ) → 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) )
14	10 13	sseldi	⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝 ) → 𝐺 ∈ ( Poly ‘ ℂ ) )
15		simp3	⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝 ) → 𝐺 ≠ 0𝑝 )
16	3 5 7 9 12 14 15 1	quotlem	⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝 ) → ( ( 𝐹 quot 𝐺 ) ∈ ( Poly ‘ ℂ ) ∧ ( 𝑅 = 0𝑝 ∨ ( deg ‘ 𝑅 ) < ( deg ‘ 𝐺 ) ) ) )
17	16	simprd	⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝 ) → ( 𝑅 = 0𝑝 ∨ ( deg ‘ 𝑅 ) < ( deg ‘ 𝐺 ) ) )