Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
recld2.1 |
β’ π½ = ( TopOpen β βfld ) |
2 |
|
difss |
β’ ( β β β ) β β |
3 |
|
eldifi |
β’ ( π₯ β ( β β β ) β π₯ β β ) |
4 |
3
|
imcld |
β’ ( π₯ β ( β β β ) β ( β β π₯ ) β β ) |
5 |
4
|
recnd |
β’ ( π₯ β ( β β β ) β ( β β π₯ ) β β ) |
6 |
|
eldifn |
β’ ( π₯ β ( β β β ) β Β¬ π₯ β β ) |
7 |
|
reim0b |
β’ ( π₯ β β β ( π₯ β β β ( β β π₯ ) = 0 ) ) |
8 |
3 7
|
syl |
β’ ( π₯ β ( β β β ) β ( π₯ β β β ( β β π₯ ) = 0 ) ) |
9 |
8
|
necon3bbid |
β’ ( π₯ β ( β β β ) β ( Β¬ π₯ β β β ( β β π₯ ) β 0 ) ) |
10 |
6 9
|
mpbid |
β’ ( π₯ β ( β β β ) β ( β β π₯ ) β 0 ) |
11 |
5 10
|
absrpcld |
β’ ( π₯ β ( β β β ) β ( abs β ( β β π₯ ) ) β β+ ) |
12 |
|
cnxmet |
β’ ( abs β β ) β ( βMet β β ) |
13 |
5
|
abscld |
β’ ( π₯ β ( β β β ) β ( abs β ( β β π₯ ) ) β β ) |
14 |
13
|
rexrd |
β’ ( π₯ β ( β β β ) β ( abs β ( β β π₯ ) ) β β* ) |
15 |
|
elbl |
β’ ( ( ( abs β β ) β ( βMet β β ) β§ π₯ β β β§ ( abs β ( β β π₯ ) ) β β* ) β ( π¦ β ( π₯ ( ball β ( abs β β ) ) ( abs β ( β β π₯ ) ) ) β ( π¦ β β β§ ( π₯ ( abs β β ) π¦ ) < ( abs β ( β β π₯ ) ) ) ) ) |
16 |
12 3 14 15
|
mp3an2i |
β’ ( π₯ β ( β β β ) β ( π¦ β ( π₯ ( ball β ( abs β β ) ) ( abs β ( β β π₯ ) ) ) β ( π¦ β β β§ ( π₯ ( abs β β ) π¦ ) < ( abs β ( β β π₯ ) ) ) ) ) |
17 |
|
simprl |
β’ ( ( π₯ β ( β β β ) β§ ( π¦ β β β§ ( π₯ ( abs β β ) π¦ ) < ( abs β ( β β π₯ ) ) ) ) β π¦ β β ) |
18 |
3
|
adantr |
β’ ( ( π₯ β ( β β β ) β§ π¦ β β ) β π₯ β β ) |
19 |
|
simpr |
β’ ( ( π₯ β ( β β β ) β§ π¦ β β ) β π¦ β β ) |
20 |
19
|
recnd |
β’ ( ( π₯ β ( β β β ) β§ π¦ β β ) β π¦ β β ) |
21 |
|
eqid |
β’ ( abs β β ) = ( abs β β ) |
22 |
21
|
cnmetdval |
β’ ( ( π₯ β β β§ π¦ β β ) β ( π₯ ( abs β β ) π¦ ) = ( abs β ( π₯ β π¦ ) ) ) |
23 |
18 20 22
|
syl2anc |
β’ ( ( π₯ β ( β β β ) β§ π¦ β β ) β ( π₯ ( abs β β ) π¦ ) = ( abs β ( π₯ β π¦ ) ) ) |
24 |
5
|
adantr |
β’ ( ( π₯ β ( β β β ) β§ π¦ β β ) β ( β β π₯ ) β β ) |
25 |
24
|
abscld |
β’ ( ( π₯ β ( β β β ) β§ π¦ β β ) β ( abs β ( β β π₯ ) ) β β ) |
26 |
18 20
|
subcld |
β’ ( ( π₯ β ( β β β ) β§ π¦ β β ) β ( π₯ β π¦ ) β β ) |
27 |
26
|
abscld |
β’ ( ( π₯ β ( β β β ) β§ π¦ β β ) β ( abs β ( π₯ β π¦ ) ) β β ) |
28 |
18 20
|
imsubd |
β’ ( ( π₯ β ( β β β ) β§ π¦ β β ) β ( β β ( π₯ β π¦ ) ) = ( ( β β π₯ ) β ( β β π¦ ) ) ) |
29 |
|
reim0 |
β’ ( π¦ β β β ( β β π¦ ) = 0 ) |
30 |
29
|
adantl |
β’ ( ( π₯ β ( β β β ) β§ π¦ β β ) β ( β β π¦ ) = 0 ) |
31 |
30
|
oveq2d |
β’ ( ( π₯ β ( β β β ) β§ π¦ β β ) β ( ( β β π₯ ) β ( β β π¦ ) ) = ( ( β β π₯ ) β 0 ) ) |
32 |
24
|
subid1d |
β’ ( ( π₯ β ( β β β ) β§ π¦ β β ) β ( ( β β π₯ ) β 0 ) = ( β β π₯ ) ) |
33 |
28 31 32
|
3eqtrd |
β’ ( ( π₯ β ( β β β ) β§ π¦ β β ) β ( β β ( π₯ β π¦ ) ) = ( β β π₯ ) ) |
34 |
33
|
fveq2d |
β’ ( ( π₯ β ( β β β ) β§ π¦ β β ) β ( abs β ( β β ( π₯ β π¦ ) ) ) = ( abs β ( β β π₯ ) ) ) |
35 |
|
absimle |
β’ ( ( π₯ β π¦ ) β β β ( abs β ( β β ( π₯ β π¦ ) ) ) β€ ( abs β ( π₯ β π¦ ) ) ) |
36 |
26 35
|
syl |
β’ ( ( π₯ β ( β β β ) β§ π¦ β β ) β ( abs β ( β β ( π₯ β π¦ ) ) ) β€ ( abs β ( π₯ β π¦ ) ) ) |
37 |
34 36
|
eqbrtrrd |
β’ ( ( π₯ β ( β β β ) β§ π¦ β β ) β ( abs β ( β β π₯ ) ) β€ ( abs β ( π₯ β π¦ ) ) ) |
38 |
25 27 37
|
lensymd |
β’ ( ( π₯ β ( β β β ) β§ π¦ β β ) β Β¬ ( abs β ( π₯ β π¦ ) ) < ( abs β ( β β π₯ ) ) ) |
39 |
23 38
|
eqnbrtrd |
β’ ( ( π₯ β ( β β β ) β§ π¦ β β ) β Β¬ ( π₯ ( abs β β ) π¦ ) < ( abs β ( β β π₯ ) ) ) |
40 |
39
|
ex |
β’ ( π₯ β ( β β β ) β ( π¦ β β β Β¬ ( π₯ ( abs β β ) π¦ ) < ( abs β ( β β π₯ ) ) ) ) |
41 |
40
|
con2d |
β’ ( π₯ β ( β β β ) β ( ( π₯ ( abs β β ) π¦ ) < ( abs β ( β β π₯ ) ) β Β¬ π¦ β β ) ) |
42 |
41
|
adantr |
β’ ( ( π₯ β ( β β β ) β§ π¦ β β ) β ( ( π₯ ( abs β β ) π¦ ) < ( abs β ( β β π₯ ) ) β Β¬ π¦ β β ) ) |
43 |
42
|
impr |
β’ ( ( π₯ β ( β β β ) β§ ( π¦ β β β§ ( π₯ ( abs β β ) π¦ ) < ( abs β ( β β π₯ ) ) ) ) β Β¬ π¦ β β ) |
44 |
17 43
|
eldifd |
β’ ( ( π₯ β ( β β β ) β§ ( π¦ β β β§ ( π₯ ( abs β β ) π¦ ) < ( abs β ( β β π₯ ) ) ) ) β π¦ β ( β β β ) ) |
45 |
44
|
ex |
β’ ( π₯ β ( β β β ) β ( ( π¦ β β β§ ( π₯ ( abs β β ) π¦ ) < ( abs β ( β β π₯ ) ) ) β π¦ β ( β β β ) ) ) |
46 |
16 45
|
sylbid |
β’ ( π₯ β ( β β β ) β ( π¦ β ( π₯ ( ball β ( abs β β ) ) ( abs β ( β β π₯ ) ) ) β π¦ β ( β β β ) ) ) |
47 |
46
|
ssrdv |
β’ ( π₯ β ( β β β ) β ( π₯ ( ball β ( abs β β ) ) ( abs β ( β β π₯ ) ) ) β ( β β β ) ) |
48 |
|
oveq2 |
β’ ( π¦ = ( abs β ( β β π₯ ) ) β ( π₯ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) = ( π₯ ( ball β ( abs β β ) ) ( abs β ( β β π₯ ) ) ) ) |
49 |
48
|
sseq1d |
β’ ( π¦ = ( abs β ( β β π₯ ) ) β ( ( π₯ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) β ( β β β ) β ( π₯ ( ball β ( abs β β ) ) ( abs β ( β β π₯ ) ) ) β ( β β β ) ) ) |
50 |
49
|
rspcev |
β’ ( ( ( abs β ( β β π₯ ) ) β β+ β§ ( π₯ ( ball β ( abs β β ) ) ( abs β ( β β π₯ ) ) ) β ( β β β ) ) β β π¦ β β+ ( π₯ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) β ( β β β ) ) |
51 |
11 47 50
|
syl2anc |
β’ ( π₯ β ( β β β ) β β π¦ β β+ ( π₯ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) β ( β β β ) ) |
52 |
51
|
rgen |
β’ β π₯ β ( β β β ) β π¦ β β+ ( π₯ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) β ( β β β ) |
53 |
1
|
cnfldtopn |
β’ π½ = ( MetOpen β ( abs β β ) ) |
54 |
53
|
elmopn2 |
β’ ( ( abs β β ) β ( βMet β β ) β ( ( β β β ) β π½ β ( ( β β β ) β β β§ β π₯ β ( β β β ) β π¦ β β+ ( π₯ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) β ( β β β ) ) ) ) |
55 |
12 54
|
ax-mp |
β’ ( ( β β β ) β π½ β ( ( β β β ) β β β§ β π₯ β ( β β β ) β π¦ β β+ ( π₯ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) β ( β β β ) ) ) |
56 |
2 52 55
|
mpbir2an |
β’ ( β β β ) β π½ |
57 |
1
|
cnfldtop |
β’ π½ β Top |
58 |
|
ax-resscn |
β’ β β β |
59 |
53
|
mopnuni |
β’ ( ( abs β β ) β ( βMet β β ) β β = βͺ π½ ) |
60 |
12 59
|
ax-mp |
β’ β = βͺ π½ |
61 |
60
|
iscld2 |
β’ ( ( π½ β Top β§ β β β ) β ( β β ( Clsd β π½ ) β ( β β β ) β π½ ) ) |
62 |
57 58 61
|
mp2an |
β’ ( β β ( Clsd β π½ ) β ( β β β ) β π½ ) |
63 |
56 62
|
mpbir |
β’ β β ( Clsd β π½ ) |