Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ltp1 |
โข ( ๐ด โ โ โ ๐ด < ( ๐ด + 1 ) ) |
2 |
|
recn |
โข ( ๐ด โ โ โ ๐ด โ โ ) |
3 |
|
ax-1cn |
โข 1 โ โ |
4 |
|
addcom |
โข ( ( ๐ด โ โ โง 1 โ โ ) โ ( ๐ด + 1 ) = ( 1 + ๐ด ) ) |
5 |
2 3 4
|
sylancl |
โข ( ๐ด โ โ โ ( ๐ด + 1 ) = ( 1 + ๐ด ) ) |
6 |
1 5
|
breqtrd |
โข ( ๐ด โ โ โ ๐ด < ( 1 + ๐ด ) ) |
7 |
6
|
adantr |
โข ( ( ๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด ) โ ๐ด < ( 1 + ๐ด ) ) |
8 |
2
|
adantr |
โข ( ( ๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด ) โ ๐ด โ โ ) |
9 |
|
1re |
โข 1 โ โ |
10 |
|
readdcl |
โข ( ( 1 โ โ โง ๐ด โ โ ) โ ( 1 + ๐ด ) โ โ ) |
11 |
9 10
|
mpan |
โข ( ๐ด โ โ โ ( 1 + ๐ด ) โ โ ) |
12 |
11
|
adantr |
โข ( ( ๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด ) โ ( 1 + ๐ด ) โ โ ) |
13 |
12
|
recnd |
โข ( ( ๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด ) โ ( 1 + ๐ด ) โ โ ) |
14 |
|
0lt1 |
โข 0 < 1 |
15 |
|
addgtge0 |
โข ( ( ( 1 โ โ โง ๐ด โ โ ) โง ( 0 < 1 โง 0 โค ๐ด ) ) โ 0 < ( 1 + ๐ด ) ) |
16 |
14 15
|
mpanr1 |
โข ( ( ( 1 โ โ โง ๐ด โ โ ) โง 0 โค ๐ด ) โ 0 < ( 1 + ๐ด ) ) |
17 |
9 16
|
mpanl1 |
โข ( ( ๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด ) โ 0 < ( 1 + ๐ด ) ) |
18 |
17
|
gt0ne0d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด ) โ ( 1 + ๐ด ) โ 0 ) |
19 |
8 13 18
|
divcan1d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด ) โ ( ( ๐ด / ( 1 + ๐ด ) ) ยท ( 1 + ๐ด ) ) = ๐ด ) |
20 |
11
|
recnd |
โข ( ๐ด โ โ โ ( 1 + ๐ด ) โ โ ) |
21 |
20
|
mullidd |
โข ( ๐ด โ โ โ ( 1 ยท ( 1 + ๐ด ) ) = ( 1 + ๐ด ) ) |
22 |
21
|
adantr |
โข ( ( ๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด ) โ ( 1 ยท ( 1 + ๐ด ) ) = ( 1 + ๐ด ) ) |
23 |
7 19 22
|
3brtr4d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด ) โ ( ( ๐ด / ( 1 + ๐ด ) ) ยท ( 1 + ๐ด ) ) < ( 1 ยท ( 1 + ๐ด ) ) ) |
24 |
|
simpl |
โข ( ( ๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด ) โ ๐ด โ โ ) |
25 |
24 12 18
|
redivcld |
โข ( ( ๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด ) โ ( ๐ด / ( 1 + ๐ด ) ) โ โ ) |
26 |
|
ltmul1 |
โข ( ( ( ๐ด / ( 1 + ๐ด ) ) โ โ โง 1 โ โ โง ( ( 1 + ๐ด ) โ โ โง 0 < ( 1 + ๐ด ) ) ) โ ( ( ๐ด / ( 1 + ๐ด ) ) < 1 โ ( ( ๐ด / ( 1 + ๐ด ) ) ยท ( 1 + ๐ด ) ) < ( 1 ยท ( 1 + ๐ด ) ) ) ) |
27 |
9 26
|
mp3an2 |
โข ( ( ( ๐ด / ( 1 + ๐ด ) ) โ โ โง ( ( 1 + ๐ด ) โ โ โง 0 < ( 1 + ๐ด ) ) ) โ ( ( ๐ด / ( 1 + ๐ด ) ) < 1 โ ( ( ๐ด / ( 1 + ๐ด ) ) ยท ( 1 + ๐ด ) ) < ( 1 ยท ( 1 + ๐ด ) ) ) ) |
28 |
25 12 17 27
|
syl12anc |
โข ( ( ๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด ) โ ( ( ๐ด / ( 1 + ๐ด ) ) < 1 โ ( ( ๐ด / ( 1 + ๐ด ) ) ยท ( 1 + ๐ด ) ) < ( 1 ยท ( 1 + ๐ด ) ) ) ) |
29 |
23 28
|
mpbird |
โข ( ( ๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด ) โ ( ๐ด / ( 1 + ๐ด ) ) < 1 ) |