Theorem relogcn

Description: The real logarithm function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015)

	Ref	Expression
Assertion	relogcn	⊢ ( log ↾ ℝ+ ) ∈ ( ℝ+ –cn→ ℝ )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relogf1o	⊢ ( log ↾ ℝ+ ) : ℝ+ –1-1-onto→ ℝ
2		f1of	⊢ ( ( log ↾ ℝ+ ) : ℝ+ –1-1-onto→ ℝ → ( log ↾ ℝ+ ) : ℝ+ ⟶ ℝ )
3	1 2	ax-mp	⊢ ( log ↾ ℝ+ ) : ℝ+ ⟶ ℝ
4		ax-resscn	⊢ ℝ ⊆ ℂ
5		fss	⊢ ( ( ( log ↾ ℝ+ ) : ℝ+ ⟶ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ ) → ( log ↾ ℝ+ ) : ℝ+ ⟶ ℂ )
6	3 4 5	mp2an	⊢ ( log ↾ ℝ+ ) : ℝ+ ⟶ ℂ
7		rpssre	⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
8		ovex	⊢ ( 1 / 𝑥 ) ∈ V
9		dvrelog	⊢ ( ℝ D ( log ↾ ℝ+ ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( 1 / 𝑥 ) )
10	8 9	dmmpti	⊢ dom ( ℝ D ( log ↾ ℝ+ ) ) = ℝ+
11		dvcn	⊢ ( ( ( ℝ ⊆ ℂ ∧ ( log ↾ ℝ+ ) : ℝ+ ⟶ ℂ ∧ ℝ+ ⊆ ℝ ) ∧ dom ( ℝ D ( log ↾ ℝ+ ) ) = ℝ+ ) → ( log ↾ ℝ+ ) ∈ ( ℝ+ –cn→ ℂ ) )
12	10 11	mpan2	⊢ ( ( ℝ ⊆ ℂ ∧ ( log ↾ ℝ+ ) : ℝ+ ⟶ ℂ ∧ ℝ+ ⊆ ℝ ) → ( log ↾ ℝ+ ) ∈ ( ℝ+ –cn→ ℂ ) )
13	4 6 7 12	mp3an	⊢ ( log ↾ ℝ+ ) ∈ ( ℝ+ –cn→ ℂ )
14		cncfcdm	⊢ ( ( ℝ ⊆ ℂ ∧ ( log ↾ ℝ+ ) ∈ ( ℝ+ –cn→ ℂ ) ) → ( ( log ↾ ℝ+ ) ∈ ( ℝ+ –cn→ ℝ ) ↔ ( log ↾ ℝ+ ) : ℝ+ ⟶ ℝ ) )
15	4 13 14	mp2an	⊢ ( ( log ↾ ℝ+ ) ∈ ( ℝ+ –cn→ ℝ ) ↔ ( log ↾ ℝ+ ) : ℝ+ ⟶ ℝ )
16	3 15	mpbir	⊢ ( log ↾ ℝ+ ) ∈ ( ℝ+ –cn→ ℝ )