Theorem rexdifi

Description: Restricted existential quantification over a difference. (Contributed by AV, 25-Oct-2023)

	Ref	Expression
Assertion	rexdifi	⊢ ( ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝜑 ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) 𝜑 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex	⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) )
2		df-ral	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝜑 ↔ ∀ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 → ¬ 𝜑 ) )
3		nfa1	⊢ Ⅎ 𝑥 ∀ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 → ¬ 𝜑 )
4		simprl	⊢ ( ( ∀ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 → ¬ 𝜑 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ) → 𝑥 ∈ 𝐴 )
5		con2	⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 → ¬ 𝜑 ) → ( 𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ) )
6	5	sps	⊢ ( ∀ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 → ¬ 𝜑 ) → ( 𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ) )
7	6	com12	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 → ¬ 𝜑 ) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ) )
8	7	adantl	⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) → ( ∀ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 → ¬ 𝜑 ) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ) )
9	8	impcom	⊢ ( ( ∀ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 → ¬ 𝜑 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 )
10	4 9	eldifd	⊢ ( ( ∀ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 → ¬ 𝜑 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) )
11		simprr	⊢ ( ( ∀ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 → ¬ 𝜑 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ) → 𝜑 )
12	10 11	jca	⊢ ( ( ∀ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 → ¬ 𝜑 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝜑 ) )
13	12	ex	⊢ ( ∀ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 → ¬ 𝜑 ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝜑 ) ) )
14	3 13	eximd	⊢ ( ∀ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 → ¬ 𝜑 ) → ( ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) → ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝜑 ) ) )
15	14	impcom	⊢ ( ( ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ∧ ∀ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 → ¬ 𝜑 ) ) → ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝜑 ) )
16	1 2 15	syl2anb	⊢ ( ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝜑 ) → ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝜑 ) )
17		df-rex	⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) 𝜑 ↔ ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝜑 ) )
18	16 17	sylibr	⊢ ( ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝜑 ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) 𝜑 )