Theorem ringassd

Description: Associative law for multiplication in a ring. (Contributed by SN, 14-Aug-2024)

	Ref	Expression
Hypotheses	ringassd.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
	ringassd.t	⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
	ringassd.r	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Ring )
	ringassd.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵 )
	ringassd.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵 )
	ringassd.z	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵 )
Assertion	ringassd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 · 𝑌 ) · 𝑍 ) = ( 𝑋 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringassd.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
2		ringassd.t	⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
3		ringassd.r	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Ring )
4		ringassd.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵 )
5		ringassd.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵 )
6		ringassd.z	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵 )
7	1 2	ringass	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 · 𝑌 ) · 𝑍 ) = ( 𝑋 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) )
8	3 4 5 6 7	syl13anc	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 · 𝑌 ) · 𝑍 ) = ( 𝑋 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) )