Metamath Proof Explorer


Theorem ringidmlem

Description: Lemma for ringlidm and ringridm . (Contributed by NM, 15-Sep-2011) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014)

Ref Expression
Hypotheses ringidm.b โŠข ๐ต = ( Base โ€˜ ๐‘… )
ringidm.t โŠข ยท = ( .r โ€˜ ๐‘… )
ringidm.u โŠข 1 = ( 1r โ€˜ ๐‘… )
Assertion ringidmlem ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ( 1 ยท ๐‘‹ ) = ๐‘‹ โˆง ( ๐‘‹ ยท 1 ) = ๐‘‹ ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ringidm.b โŠข ๐ต = ( Base โ€˜ ๐‘… )
2 ringidm.t โŠข ยท = ( .r โ€˜ ๐‘… )
3 ringidm.u โŠข 1 = ( 1r โ€˜ ๐‘… )
4 eqid โŠข ( mulGrp โ€˜ ๐‘… ) = ( mulGrp โ€˜ ๐‘… )
5 4 ringmgp โŠข ( ๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ( mulGrp โ€˜ ๐‘… ) โˆˆ Mnd )
6 4 1 mgpbas โŠข ๐ต = ( Base โ€˜ ( mulGrp โ€˜ ๐‘… ) )
7 4 2 mgpplusg โŠข ยท = ( +g โ€˜ ( mulGrp โ€˜ ๐‘… ) )
8 4 3 ringidval โŠข 1 = ( 0g โ€˜ ( mulGrp โ€˜ ๐‘… ) )
9 6 7 8 mndlrid โŠข ( ( ( mulGrp โ€˜ ๐‘… ) โˆˆ Mnd โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ( 1 ยท ๐‘‹ ) = ๐‘‹ โˆง ( ๐‘‹ ยท 1 ) = ๐‘‹ ) )
10 5 9 sylan โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ( 1 ยท ๐‘‹ ) = ๐‘‹ โˆง ( ๐‘‹ ยท 1 ) = ๐‘‹ ) )