Theorem ringm2neg

Description: Double negation of a product in a ring. ( mul2neg analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014)

	Ref	Expression
Hypotheses	ringneglmul.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
	ringneglmul.t	⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
	ringneglmul.n	⊢ 𝑁 = ( invg ‘ 𝑅 )
	ringneglmul.r	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Ring )
	ringneglmul.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵 )
	ringneglmul.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵 )
Assertion	ringm2neg	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) · ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) ) = ( 𝑋 · 𝑌 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringneglmul.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
2		ringneglmul.t	⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
3		ringneglmul.n	⊢ 𝑁 = ( invg ‘ 𝑅 )
4		ringneglmul.r	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Ring )
5		ringneglmul.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵 )
6		ringneglmul.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵 )
7		ringgrp	⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp )
8	4 7	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Grp )
9	1 3	grpinvcl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
10	8 6 9	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
11	1 2 3 4 5 10	ringmneg1	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) · ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) ) = ( 𝑁 ‘ ( 𝑋 · ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) ) ) )
12	1 2 3 4 5 6	ringmneg2	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 · ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) ) = ( 𝑁 ‘ ( 𝑋 · 𝑌 ) ) )
13	12	fveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ ( 𝑋 · ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) ) ) = ( 𝑁 ‘ ( 𝑁 ‘ ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ) )
14	1 2	ringcl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 · 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
15	4 5 6 14	syl3anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 · 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
16	1 3	grpinvinv	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Grp ∧ ( 𝑋 · 𝑌 ) ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 ‘ ( 𝑁 ‘ ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ) = ( 𝑋 · 𝑌 ) )
17	8 15 16	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ ( 𝑁 ‘ ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ) = ( 𝑋 · 𝑌 ) )
18	11 13 17	3eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) · ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) ) = ( 𝑋 · 𝑌 ) )