Theorem ringmneg1

Description: Negation of a product in a ring. ( mulneg1 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014)

	Ref	Expression
Hypotheses	ringneglmul.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
	ringneglmul.t	⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
	ringneglmul.n	⊢ 𝑁 = ( invg ‘ 𝑅 )
	ringneglmul.r	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Ring )
	ringneglmul.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵 )
	ringneglmul.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵 )
Assertion	ringmneg1	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) · 𝑌 ) = ( 𝑁 ‘ ( 𝑋 · 𝑌 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringneglmul.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
2		ringneglmul.t	⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
3		ringneglmul.n	⊢ 𝑁 = ( invg ‘ 𝑅 )
4		ringneglmul.r	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Ring )
5		ringneglmul.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵 )
6		ringneglmul.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵 )
7		ringgrp	⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp )
8	4 7	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Grp )
9		eqid	⊢ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 1r ‘ 𝑅 )
10	1 9	ringidcl	⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( 1r ‘ 𝑅 ) ∈ 𝐵 )
11	4 10	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 1r ‘ 𝑅 ) ∈ 𝐵 )
12	1 3	grpinvcl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Grp ∧ ( 1r ‘ 𝑅 ) ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 ‘ ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ∈ 𝐵 )
13	8 11 12	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ∈ 𝐵 )
14	1 2	ringass	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ( 𝑁 ‘ ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑁 ‘ ( 1r ‘ 𝑅 ) ) · 𝑋 ) · 𝑌 ) = ( ( 𝑁 ‘ ( 1r ‘ 𝑅 ) ) · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) )
15	4 13 5 6 14	syl13anc	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑁 ‘ ( 1r ‘ 𝑅 ) ) · 𝑋 ) · 𝑌 ) = ( ( 𝑁 ‘ ( 1r ‘ 𝑅 ) ) · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) )
16	1 2 9 3 4 5	ringnegl	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ‘ ( 1r ‘ 𝑅 ) ) · 𝑋 ) = ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) )
17	16	oveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑁 ‘ ( 1r ‘ 𝑅 ) ) · 𝑋 ) · 𝑌 ) = ( ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) · 𝑌 ) )
18	1 2	ringcl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 · 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
19	4 5 6 18	syl3anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 · 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
20	1 2 9 3 4 19	ringnegl	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ‘ ( 1r ‘ 𝑅 ) ) · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) = ( 𝑁 ‘ ( 𝑋 · 𝑌 ) ) )
21	15 17 20	3eqtr3d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) · 𝑌 ) = ( 𝑁 ‘ ( 𝑋 · 𝑌 ) ) )