Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
reuss2 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝜑 → 𝜓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃! 𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ) ) → ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) |
2 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝜑 → 𝜓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃! 𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝜑 → 𝜓 ) ) |
3 |
|
riotasbc |
⊢ ( ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → [ ( ℩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) / 𝑥 ] 𝜑 ) |
4 |
|
riotacl |
⊢ ( ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ( ℩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) ∈ 𝐴 ) |
5 |
|
rspsbc |
⊢ ( ( ℩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) ∈ 𝐴 → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝜑 → 𝜓 ) → [ ( ℩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) / 𝑥 ] ( 𝜑 → 𝜓 ) ) ) |
6 |
|
sbcimg |
⊢ ( ( ℩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) ∈ 𝐴 → ( [ ( ℩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) / 𝑥 ] ( 𝜑 → 𝜓 ) ↔ ( [ ( ℩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) / 𝑥 ] 𝜑 → [ ( ℩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) / 𝑥 ] 𝜓 ) ) ) |
7 |
5 6
|
sylibd |
⊢ ( ( ℩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) ∈ 𝐴 → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝜑 → 𝜓 ) → ( [ ( ℩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) / 𝑥 ] 𝜑 → [ ( ℩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) / 𝑥 ] 𝜓 ) ) ) |
8 |
4 7
|
syl |
⊢ ( ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝜑 → 𝜓 ) → ( [ ( ℩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) / 𝑥 ] 𝜑 → [ ( ℩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) / 𝑥 ] 𝜓 ) ) ) |
9 |
3 8
|
mpid |
⊢ ( ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝜑 → 𝜓 ) → [ ( ℩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) / 𝑥 ] 𝜓 ) ) |
10 |
1 2 9
|
sylc |
⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝜑 → 𝜓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃! 𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ) ) → [ ( ℩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) / 𝑥 ] 𝜓 ) |
11 |
1 4
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝜑 → 𝜓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃! 𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ) ) → ( ℩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) ∈ 𝐴 ) |
12 |
|
ssel |
⊢ ( 𝐴 ⊆ 𝐵 → ( ( ℩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) ∈ 𝐴 → ( ℩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) ∈ 𝐵 ) ) |
13 |
12
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝜑 → 𝜓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃! 𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ) ) → ( ( ℩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) ∈ 𝐴 → ( ℩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) ∈ 𝐵 ) ) |
14 |
11 13
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝜑 → 𝜓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃! 𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ) ) → ( ℩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) ∈ 𝐵 ) |
15 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝜑 → 𝜓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃! 𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ) ) → ∃! 𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ) |
16 |
|
nfriota1 |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( ℩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) |
17 |
16
|
nfsbc1 |
⊢ Ⅎ 𝑥 [ ( ℩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) / 𝑥 ] 𝜓 |
18 |
|
sbceq1a |
⊢ ( 𝑥 = ( ℩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) → ( 𝜓 ↔ [ ( ℩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) / 𝑥 ] 𝜓 ) ) |
19 |
16 17 18
|
riota2f |
⊢ ( ( ( ℩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) ∈ 𝐵 ∧ ∃! 𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ) → ( [ ( ℩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) / 𝑥 ] 𝜓 ↔ ( ℩ 𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ) = ( ℩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) ) ) |
20 |
14 15 19
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝜑 → 𝜓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃! 𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ) ) → ( [ ( ℩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) / 𝑥 ] 𝜓 ↔ ( ℩ 𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ) = ( ℩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) ) ) |
21 |
10 20
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝜑 → 𝜓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃! 𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ) ) → ( ℩ 𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ) = ( ℩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) ) |
22 |
21
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝜑 → 𝜓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃! 𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ) ) → ( ℩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) = ( ℩ 𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ) ) |