Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
rlimcn2.1a |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ 𝑋 ) |
2 |
|
rlimcn2.1b |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ 𝑌 ) |
3 |
|
rlimcn2.2a |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑋 ) |
4 |
|
rlimcn2.2b |
⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌 ) |
5 |
|
rlimcn2.3a |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ⇝𝑟 𝑅 ) |
6 |
|
rlimcn2.3b |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶 ) ⇝𝑟 𝑆 ) |
7 |
|
rlimcn2.4 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ( 𝑋 × 𝑌 ) ⟶ ℂ ) |
8 |
|
rlimcn2.5 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑟 ∈ ℝ+ ∃ 𝑠 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) |
9 |
1
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑋 ) |
10 |
9
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) → ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑋 ) |
11 |
|
simprl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) → 𝑟 ∈ ℝ+ ) |
12 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) → ( 𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ⇝𝑟 𝑅 ) |
13 |
10 11 12
|
rlimi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑎 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ) ) |
14 |
2
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝑌 ) |
15 |
14
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) → ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝑌 ) |
16 |
|
simprr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) → 𝑠 ∈ ℝ+ ) |
17 |
6
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) → ( 𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶 ) ⇝𝑟 𝑆 ) |
18 |
15 16 17
|
rlimi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) → ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑏 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) |
19 |
|
reeanv |
⊢ ( ∃ 𝑎 ∈ ℝ ∃ 𝑏 ∈ ℝ ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑎 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑏 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) ↔ ( ∃ 𝑎 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑎 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑏 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) ) |
20 |
|
r19.26 |
⊢ ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ( 𝑎 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ) ∧ ( 𝑏 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) ↔ ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑎 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑏 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) ) |
21 |
|
anim12 |
⊢ ( ( ( 𝑎 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ) ∧ ( 𝑏 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) → ( ( 𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑏 ≤ 𝑧 ) → ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) ) |
22 |
|
simplrl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → 𝑎 ∈ ℝ ) |
23 |
|
simplrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → 𝑏 ∈ ℝ ) |
24 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) = ( 𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) |
25 |
24 1
|
dmmptd |
⊢ ( 𝜑 → dom ( 𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) = 𝐴 ) |
26 |
|
rlimss |
⊢ ( ( 𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ⇝𝑟 𝑅 → dom ( 𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ⊆ ℝ ) |
27 |
5 26
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → dom ( 𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ⊆ ℝ ) |
28 |
25 27
|
eqsstrrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ ) |
29 |
28
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) → 𝐴 ⊆ ℝ ) |
30 |
29
|
sselda |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → 𝑧 ∈ ℝ ) |
31 |
|
maxle |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ≤ 𝑧 ↔ ( 𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑏 ≤ 𝑧 ) ) ) |
32 |
22 23 30 31
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ≤ 𝑧 ↔ ( 𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑏 ≤ 𝑧 ) ) ) |
33 |
32
|
imbi1d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( ( if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ≤ 𝑧 → ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) ↔ ( ( 𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑏 ≤ 𝑧 ) → ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) ) ) |
34 |
21 33
|
syl5ibr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( ( ( 𝑎 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ) ∧ ( 𝑏 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) → ( if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ≤ 𝑧 → ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) ) ) |
35 |
34
|
ralimdva |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) → ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ( 𝑎 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ) ∧ ( 𝑏 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) → ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ≤ 𝑧 → ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) ) ) |
36 |
|
ifcl |
⊢ ( ( 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ ) → if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ∈ ℝ ) |
37 |
36
|
ancoms |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) → if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ∈ ℝ ) |
38 |
37
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) → if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ∈ ℝ ) |
39 |
1
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ 𝑋 ) |
40 |
2
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ 𝑌 ) |
41 |
39 40
|
jca |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑌 ) ) |
42 |
|
fvoveq1 |
⊢ ( 𝑢 = 𝐵 → ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) ) |
43 |
42
|
breq1d |
⊢ ( 𝑢 = 𝐵 → ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ↔ ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ) ) |
44 |
43
|
anbi1d |
⊢ ( 𝑢 = 𝐵 → ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ↔ ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) ) |
45 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑢 = 𝐵 → ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) = ( 𝐵 𝐹 𝑣 ) ) |
46 |
45
|
fvoveq1d |
⊢ ( 𝑢 = 𝐵 → ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) ) |
47 |
46
|
breq1d |
⊢ ( 𝑢 = 𝐵 → ( ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ↔ ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) |
48 |
44 47
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑢 = 𝐵 → ( ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ↔ ( ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) ) |
49 |
|
fvoveq1 |
⊢ ( 𝑣 = 𝐶 → ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) ) |
50 |
49
|
breq1d |
⊢ ( 𝑣 = 𝐶 → ( ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ↔ ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) |
51 |
50
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑣 = 𝐶 → ( ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ↔ ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) ) |
52 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑣 = 𝐶 → ( 𝐵 𝐹 𝑣 ) = ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) ) |
53 |
52
|
fvoveq1d |
⊢ ( 𝑣 = 𝐶 → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) ) |
54 |
53
|
breq1d |
⊢ ( 𝑣 = 𝐶 → ( ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ↔ ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) |
55 |
51 54
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑣 = 𝐶 → ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ↔ ( ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) ) |
56 |
48 55
|
rspc2va |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) |
57 |
41 56
|
sylan |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) |
58 |
57
|
imim2d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) → ( ( if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ≤ 𝑧 → ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) → ( if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) ) |
59 |
58
|
an32s |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( ( if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ≤ 𝑧 → ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) → ( if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) ) |
60 |
59
|
ralimdva |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) → ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ≤ 𝑧 → ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) → ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) ) |
61 |
60
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) → ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ≤ 𝑧 → ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) → ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) ) |
62 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑐 = if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) → ( 𝑐 ≤ 𝑧 ↔ if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ≤ 𝑧 ) ) |
63 |
62
|
rspceaimv |
⊢ ( ( if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ∈ ℝ ∧ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) → ∃ 𝑐 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑐 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) |
64 |
38 61 63
|
syl6an |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) → ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ≤ 𝑧 → ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) → ∃ 𝑐 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑐 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) ) |
65 |
64
|
ex |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) → ( ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) → ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ≤ 𝑧 → ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) → ∃ 𝑐 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑐 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) ) ) |
66 |
65
|
com23 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) → ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ≤ 𝑧 → ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) → ( ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) → ∃ 𝑐 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑐 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) ) ) |
67 |
35 66
|
syld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) → ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ( 𝑎 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ) ∧ ( 𝑏 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) → ( ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) → ∃ 𝑐 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑐 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) ) ) |
68 |
20 67
|
syl5bir |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) → ( ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑎 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑏 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) → ( ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) → ∃ 𝑐 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑐 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) ) ) |
69 |
68
|
rexlimdvva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) → ( ∃ 𝑎 ∈ ℝ ∃ 𝑏 ∈ ℝ ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑎 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑏 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) → ( ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) → ∃ 𝑐 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑐 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) ) ) |
70 |
19 69
|
syl5bir |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) → ( ( ∃ 𝑎 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑎 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑏 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) → ( ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) → ∃ 𝑐 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑐 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) ) ) |
71 |
13 18 70
|
mp2and |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) → ( ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) → ∃ 𝑐 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑐 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) ) |
72 |
71
|
rexlimdvva |
⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑟 ∈ ℝ+ ∃ 𝑠 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) → ∃ 𝑐 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑐 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) ) |
73 |
72
|
imp |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑟 ∈ ℝ+ ∃ 𝑠 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) → ∃ 𝑐 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑐 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) |
74 |
8 73
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑐 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑐 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) |
75 |
74
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ ℝ+ ∃ 𝑐 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑐 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) |
76 |
7
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → 𝐹 : ( 𝑋 × 𝑌 ) ⟶ ℂ ) |
77 |
76 1 2
|
fovrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) ∈ ℂ ) |
78 |
77
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) ∈ ℂ ) |
79 |
7 3 4
|
fovrnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ∈ ℂ ) |
80 |
78 28 79
|
rlim2 |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) ) ⇝𝑟 ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ℝ+ ∃ 𝑐 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑐 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) ) |
81 |
75 80
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) ) ⇝𝑟 ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) |