Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
rmodislmod.v |
⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑅 ) |
2 |
|
rmodislmod.a |
⊢ + = ( +g ‘ 𝑅 ) |
3 |
|
rmodislmod.s |
⊢ · = ( ·𝑠 ‘ 𝑅 ) |
4 |
|
rmodislmod.f |
⊢ 𝐹 = ( Scalar ‘ 𝑅 ) |
5 |
|
rmodislmod.k |
⊢ 𝐾 = ( Base ‘ 𝐹 ) |
6 |
|
rmodislmod.p |
⊢ ⨣ = ( +g ‘ 𝐹 ) |
7 |
|
rmodislmod.t |
⊢ × = ( .r ‘ 𝐹 ) |
8 |
|
rmodislmod.u |
⊢ 1 = ( 1r ‘ 𝐹 ) |
9 |
|
rmodislmod.r |
⊢ ( 𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀ 𝑞 ∈ 𝐾 ∀ 𝑟 ∈ 𝐾 ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( ( ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ∧ ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑤 · ( 𝑞 ⨣ 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ) ∧ ( ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ∧ ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) ) ) |
10 |
|
rmodislmod.m |
⊢ ∗ = ( 𝑠 ∈ 𝐾 , 𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ( 𝑣 · 𝑠 ) ) |
11 |
|
rmodislmod.l |
⊢ 𝐿 = ( 𝑅 sSet 〈 ( ·𝑠 ‘ ndx ) , ∗ 〉 ) |
12 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ∧ ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑤 · ( 𝑞 ⨣ 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ) ∧ ( ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ∧ ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) ) → ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ) |
13 |
12
|
2ralimi |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( ( ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ∧ ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑤 · ( 𝑞 ⨣ 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ) ∧ ( ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ∧ ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ) |
14 |
13
|
2ralimi |
⊢ ( ∀ 𝑞 ∈ 𝐾 ∀ 𝑟 ∈ 𝐾 ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( ( ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ∧ ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑤 · ( 𝑞 ⨣ 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ) ∧ ( ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ∧ ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) ) → ∀ 𝑞 ∈ 𝐾 ∀ 𝑟 ∈ 𝐾 ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ) |
15 |
|
ralrot3 |
⊢ ( ∀ 𝑞 ∈ 𝐾 ∀ 𝑟 ∈ 𝐾 ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑞 ∈ 𝐾 ∀ 𝑟 ∈ 𝐾 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ) |
16 |
1
|
grpbn0 |
⊢ ( 𝑅 ∈ Grp → 𝑉 ≠ ∅ ) |
17 |
16
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀ 𝑞 ∈ 𝐾 ∀ 𝑟 ∈ 𝐾 ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( ( ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ∧ ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑤 · ( 𝑞 ⨣ 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ) ∧ ( ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ∧ ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) ) ) → 𝑉 ≠ ∅ ) |
18 |
9 17
|
ax-mp |
⊢ 𝑉 ≠ ∅ |
19 |
|
rspn0 |
⊢ ( 𝑉 ≠ ∅ → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑞 ∈ 𝐾 ∀ 𝑟 ∈ 𝐾 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) → ∀ 𝑞 ∈ 𝐾 ∀ 𝑟 ∈ 𝐾 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ) ) |
20 |
18 19
|
ax-mp |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑞 ∈ 𝐾 ∀ 𝑟 ∈ 𝐾 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) → ∀ 𝑞 ∈ 𝐾 ∀ 𝑟 ∈ 𝐾 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ) |
21 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑞 = 𝑏 → ( 𝑞 × 𝑟 ) = ( 𝑏 × 𝑟 ) ) |
22 |
21
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑞 = 𝑏 → ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( 𝑤 · ( 𝑏 × 𝑟 ) ) ) |
23 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑞 = 𝑏 → ( 𝑤 · 𝑞 ) = ( 𝑤 · 𝑏 ) ) |
24 |
23
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑞 = 𝑏 → ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑏 ) · 𝑟 ) ) |
25 |
22 24
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝑞 = 𝑏 → ( ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ↔ ( 𝑤 · ( 𝑏 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑏 ) · 𝑟 ) ) ) |
26 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑟 = 𝑎 → ( 𝑏 × 𝑟 ) = ( 𝑏 × 𝑎 ) ) |
27 |
26
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑟 = 𝑎 → ( 𝑤 · ( 𝑏 × 𝑟 ) ) = ( 𝑤 · ( 𝑏 × 𝑎 ) ) ) |
28 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑟 = 𝑎 → ( ( 𝑤 · 𝑏 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑏 ) · 𝑎 ) ) |
29 |
27 28
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝑟 = 𝑎 → ( ( 𝑤 · ( 𝑏 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑏 ) · 𝑟 ) ↔ ( 𝑤 · ( 𝑏 × 𝑎 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑏 ) · 𝑎 ) ) ) |
30 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑤 = 𝑐 → ( 𝑤 · ( 𝑏 × 𝑎 ) ) = ( 𝑐 · ( 𝑏 × 𝑎 ) ) ) |
31 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑤 = 𝑐 → ( 𝑤 · 𝑏 ) = ( 𝑐 · 𝑏 ) ) |
32 |
31
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑤 = 𝑐 → ( ( 𝑤 · 𝑏 ) · 𝑎 ) = ( ( 𝑐 · 𝑏 ) · 𝑎 ) ) |
33 |
30 32
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝑤 = 𝑐 → ( ( 𝑤 · ( 𝑏 × 𝑎 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑏 ) · 𝑎 ) ↔ ( 𝑐 · ( 𝑏 × 𝑎 ) ) = ( ( 𝑐 · 𝑏 ) · 𝑎 ) ) ) |
34 |
25 29 33
|
rspc3v |
⊢ ( ( 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ) → ( ∀ 𝑞 ∈ 𝐾 ∀ 𝑟 ∈ 𝐾 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) → ( 𝑐 · ( 𝑏 × 𝑎 ) ) = ( ( 𝑐 · 𝑏 ) · 𝑎 ) ) ) |
35 |
34
|
3com12 |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ) → ( ∀ 𝑞 ∈ 𝐾 ∀ 𝑟 ∈ 𝐾 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) → ( 𝑐 · ( 𝑏 × 𝑎 ) ) = ( ( 𝑐 · 𝑏 ) · 𝑎 ) ) ) |
36 |
20 35
|
syl5com |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑞 ∈ 𝐾 ∀ 𝑟 ∈ 𝐾 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) → ( ( 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑐 · ( 𝑏 × 𝑎 ) ) = ( ( 𝑐 · 𝑏 ) · 𝑎 ) ) ) |
37 |
15 36
|
sylbi |
⊢ ( ∀ 𝑞 ∈ 𝐾 ∀ 𝑟 ∈ 𝐾 ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) → ( ( 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑐 · ( 𝑏 × 𝑎 ) ) = ( ( 𝑐 · 𝑏 ) · 𝑎 ) ) ) |
38 |
|
eqcom |
⊢ ( ( ( 𝑐 · 𝑏 ) · 𝑎 ) = ( 𝑐 · ( 𝑏 × 𝑎 ) ) ↔ ( 𝑐 · ( 𝑏 × 𝑎 ) ) = ( ( 𝑐 · 𝑏 ) · 𝑎 ) ) |
39 |
37 38
|
syl6ibr |
⊢ ( ∀ 𝑞 ∈ 𝐾 ∀ 𝑟 ∈ 𝐾 ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) → ( ( 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ) → ( ( 𝑐 · 𝑏 ) · 𝑎 ) = ( 𝑐 · ( 𝑏 × 𝑎 ) ) ) ) |
40 |
14 39
|
syl |
⊢ ( ∀ 𝑞 ∈ 𝐾 ∀ 𝑟 ∈ 𝐾 ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( ( ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ∧ ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑤 · ( 𝑞 ⨣ 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ) ∧ ( ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ∧ ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) ) → ( ( 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ) → ( ( 𝑐 · 𝑏 ) · 𝑎 ) = ( 𝑐 · ( 𝑏 × 𝑎 ) ) ) ) |
41 |
40
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀ 𝑞 ∈ 𝐾 ∀ 𝑟 ∈ 𝐾 ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( ( ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ∧ ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑤 · ( 𝑞 ⨣ 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ) ∧ ( ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ∧ ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) ) ) → ( ( 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ) → ( ( 𝑐 · 𝑏 ) · 𝑎 ) = ( 𝑐 · ( 𝑏 × 𝑎 ) ) ) ) |
42 |
9 41
|
ax-mp |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ) → ( ( 𝑐 · 𝑏 ) · 𝑎 ) = ( 𝑐 · ( 𝑏 × 𝑎 ) ) ) |
43 |
42
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ CRing ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( 𝑐 · 𝑏 ) · 𝑎 ) = ( 𝑐 · ( 𝑏 × 𝑎 ) ) ) |
44 |
5 7
|
crngcom |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐾 ) → ( 𝑏 × 𝑎 ) = ( 𝑎 × 𝑏 ) ) |
45 |
44
|
3expb |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ CRing ∧ ( 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐾 ) ) → ( 𝑏 × 𝑎 ) = ( 𝑎 × 𝑏 ) ) |
46 |
45
|
expcom |
⊢ ( ( 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐾 ) → ( 𝐹 ∈ CRing → ( 𝑏 × 𝑎 ) = ( 𝑎 × 𝑏 ) ) ) |
47 |
46
|
ancoms |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ) → ( 𝐹 ∈ CRing → ( 𝑏 × 𝑎 ) = ( 𝑎 × 𝑏 ) ) ) |
48 |
47
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ) → ( 𝐹 ∈ CRing → ( 𝑏 × 𝑎 ) = ( 𝑎 × 𝑏 ) ) ) |
49 |
48
|
impcom |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ CRing ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑏 × 𝑎 ) = ( 𝑎 × 𝑏 ) ) |
50 |
49
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ CRing ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑐 · ( 𝑏 × 𝑎 ) ) = ( 𝑐 · ( 𝑎 × 𝑏 ) ) ) |
51 |
43 50
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ CRing ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( 𝑐 · 𝑏 ) · 𝑎 ) = ( 𝑐 · ( 𝑎 × 𝑏 ) ) ) |
52 |
10
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ) → ∗ = ( 𝑠 ∈ 𝐾 , 𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ( 𝑣 · 𝑠 ) ) ) |
53 |
|
oveq12 |
⊢ ( ( 𝑣 = 𝑐 ∧ 𝑠 = 𝑏 ) → ( 𝑣 · 𝑠 ) = ( 𝑐 · 𝑏 ) ) |
54 |
53
|
ancoms |
⊢ ( ( 𝑠 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐 ) → ( 𝑣 · 𝑠 ) = ( 𝑐 · 𝑏 ) ) |
55 |
54
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑠 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐 ) ) → ( 𝑣 · 𝑠 ) = ( 𝑐 · 𝑏 ) ) |
56 |
|
simp2 |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ) → 𝑏 ∈ 𝐾 ) |
57 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ) → 𝑐 ∈ 𝑉 ) |
58 |
|
ovexd |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑐 · 𝑏 ) ∈ V ) |
59 |
52 55 56 57 58
|
ovmpod |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑏 ∗ 𝑐 ) = ( 𝑐 · 𝑏 ) ) |
60 |
59
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑎 ∗ ( 𝑏 ∗ 𝑐 ) ) = ( 𝑎 ∗ ( 𝑐 · 𝑏 ) ) ) |
61 |
|
oveq12 |
⊢ ( ( 𝑣 = ( 𝑐 · 𝑏 ) ∧ 𝑠 = 𝑎 ) → ( 𝑣 · 𝑠 ) = ( ( 𝑐 · 𝑏 ) · 𝑎 ) ) |
62 |
61
|
ancoms |
⊢ ( ( 𝑠 = 𝑎 ∧ 𝑣 = ( 𝑐 · 𝑏 ) ) → ( 𝑣 · 𝑠 ) = ( ( 𝑐 · 𝑏 ) · 𝑎 ) ) |
63 |
62
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑠 = 𝑎 ∧ 𝑣 = ( 𝑐 · 𝑏 ) ) ) → ( 𝑣 · 𝑠 ) = ( ( 𝑐 · 𝑏 ) · 𝑎 ) ) |
64 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ) → 𝑎 ∈ 𝐾 ) |
65 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ∧ ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑤 · ( 𝑞 ⨣ 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ) ∧ ( ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ∧ ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) ) → ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ) |
66 |
65
|
2ralimi |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( ( ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ∧ ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑤 · ( 𝑞 ⨣ 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ) ∧ ( ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ∧ ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ) |
67 |
66
|
2ralimi |
⊢ ( ∀ 𝑞 ∈ 𝐾 ∀ 𝑟 ∈ 𝐾 ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( ( ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ∧ ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑤 · ( 𝑞 ⨣ 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ) ∧ ( ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ∧ ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) ) → ∀ 𝑞 ∈ 𝐾 ∀ 𝑟 ∈ 𝐾 ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ) |
68 |
|
ringgrp |
⊢ ( 𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp ) |
69 |
5
|
grpbn0 |
⊢ ( 𝐹 ∈ Grp → 𝐾 ≠ ∅ ) |
70 |
68 69
|
syl |
⊢ ( 𝐹 ∈ Ring → 𝐾 ≠ ∅ ) |
71 |
70
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀ 𝑞 ∈ 𝐾 ∀ 𝑟 ∈ 𝐾 ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( ( ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ∧ ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑤 · ( 𝑞 ⨣ 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ) ∧ ( ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ∧ ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) ) ) → 𝐾 ≠ ∅ ) |
72 |
9 71
|
ax-mp |
⊢ 𝐾 ≠ ∅ |
73 |
|
rspn0 |
⊢ ( 𝐾 ≠ ∅ → ( ∀ 𝑞 ∈ 𝐾 ∀ 𝑟 ∈ 𝐾 ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 → ∀ 𝑟 ∈ 𝐾 ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ) ) |
74 |
72 73
|
ax-mp |
⊢ ( ∀ 𝑞 ∈ 𝐾 ∀ 𝑟 ∈ 𝐾 ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 → ∀ 𝑟 ∈ 𝐾 ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ) |
75 |
|
ralcom |
⊢ ( ∀ 𝑟 ∈ 𝐾 ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑟 ∈ 𝐾 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ) |
76 |
|
rspn0 |
⊢ ( 𝑉 ≠ ∅ → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑟 ∈ 𝐾 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 → ∀ 𝑟 ∈ 𝐾 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ) ) |
77 |
18 76
|
ax-mp |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑟 ∈ 𝐾 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 → ∀ 𝑟 ∈ 𝐾 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ) |
78 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑟 = 𝑏 → ( 𝑤 · 𝑟 ) = ( 𝑤 · 𝑏 ) ) |
79 |
78
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑟 = 𝑏 → ( ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ↔ ( 𝑤 · 𝑏 ) ∈ 𝑉 ) ) |
80 |
31
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑤 = 𝑐 → ( ( 𝑤 · 𝑏 ) ∈ 𝑉 ↔ ( 𝑐 · 𝑏 ) ∈ 𝑉 ) ) |
81 |
79 80
|
rspc2v |
⊢ ( ( 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ) → ( ∀ 𝑟 ∈ 𝐾 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 → ( 𝑐 · 𝑏 ) ∈ 𝑉 ) ) |
82 |
77 81
|
syl5com |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑟 ∈ 𝐾 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 → ( ( 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑐 · 𝑏 ) ∈ 𝑉 ) ) |
83 |
75 82
|
sylbi |
⊢ ( ∀ 𝑟 ∈ 𝐾 ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 → ( ( 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑐 · 𝑏 ) ∈ 𝑉 ) ) |
84 |
67 74 83
|
3syl |
⊢ ( ∀ 𝑞 ∈ 𝐾 ∀ 𝑟 ∈ 𝐾 ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( ( ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ∧ ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑤 · ( 𝑞 ⨣ 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ) ∧ ( ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ∧ ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) ) → ( ( 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑐 · 𝑏 ) ∈ 𝑉 ) ) |
85 |
84
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀ 𝑞 ∈ 𝐾 ∀ 𝑟 ∈ 𝐾 ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( ( ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ∧ ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑤 · ( 𝑞 ⨣ 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ) ∧ ( ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ∧ ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) ) ) → ( ( 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑐 · 𝑏 ) ∈ 𝑉 ) ) |
86 |
9 85
|
ax-mp |
⊢ ( ( 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑐 · 𝑏 ) ∈ 𝑉 ) |
87 |
86
|
3adant1 |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑐 · 𝑏 ) ∈ 𝑉 ) |
88 |
|
ovexd |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ) → ( ( 𝑐 · 𝑏 ) · 𝑎 ) ∈ V ) |
89 |
52 63 64 87 88
|
ovmpod |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑎 ∗ ( 𝑐 · 𝑏 ) ) = ( ( 𝑐 · 𝑏 ) · 𝑎 ) ) |
90 |
60 89
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑎 ∗ ( 𝑏 ∗ 𝑐 ) ) = ( ( 𝑐 · 𝑏 ) · 𝑎 ) ) |
91 |
90
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ CRing ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑎 ∗ ( 𝑏 ∗ 𝑐 ) ) = ( ( 𝑐 · 𝑏 ) · 𝑎 ) ) |
92 |
|
oveq12 |
⊢ ( ( 𝑣 = 𝑐 ∧ 𝑠 = ( 𝑎 × 𝑏 ) ) → ( 𝑣 · 𝑠 ) = ( 𝑐 · ( 𝑎 × 𝑏 ) ) ) |
93 |
92
|
ancoms |
⊢ ( ( 𝑠 = ( 𝑎 × 𝑏 ) ∧ 𝑣 = 𝑐 ) → ( 𝑣 · 𝑠 ) = ( 𝑐 · ( 𝑎 × 𝑏 ) ) ) |
94 |
93
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑠 = ( 𝑎 × 𝑏 ) ∧ 𝑣 = 𝑐 ) ) → ( 𝑣 · 𝑠 ) = ( 𝑐 · ( 𝑎 × 𝑏 ) ) ) |
95 |
5 7
|
ringcl |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ) → ( 𝑎 × 𝑏 ) ∈ 𝐾 ) |
96 |
95
|
3expib |
⊢ ( 𝐹 ∈ Ring → ( ( 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ) → ( 𝑎 × 𝑏 ) ∈ 𝐾 ) ) |
97 |
96
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀ 𝑞 ∈ 𝐾 ∀ 𝑟 ∈ 𝐾 ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( ( ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ∧ ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑤 · ( 𝑞 ⨣ 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ) ∧ ( ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ∧ ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) ) ) → ( ( 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ) → ( 𝑎 × 𝑏 ) ∈ 𝐾 ) ) |
98 |
9 97
|
ax-mp |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ) → ( 𝑎 × 𝑏 ) ∈ 𝐾 ) |
99 |
98
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑎 × 𝑏 ) ∈ 𝐾 ) |
100 |
|
ovexd |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑐 · ( 𝑎 × 𝑏 ) ) ∈ V ) |
101 |
52 94 99 57 100
|
ovmpod |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ) → ( ( 𝑎 × 𝑏 ) ∗ 𝑐 ) = ( 𝑐 · ( 𝑎 × 𝑏 ) ) ) |
102 |
101
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ CRing ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( 𝑎 × 𝑏 ) ∗ 𝑐 ) = ( 𝑐 · ( 𝑎 × 𝑏 ) ) ) |
103 |
51 91 102
|
3eqtr4rd |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ CRing ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( 𝑎 × 𝑏 ) ∗ 𝑐 ) = ( 𝑎 ∗ ( 𝑏 ∗ 𝑐 ) ) ) |