Metamath Proof Explorer

Theorem rmxyadd

Description: Addition formula for X and Y sequences. See rmxadd and rmyadd for most uses. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014)

Ref Expression
Assertion rmxyadd ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) ∧ ( 𝐴 Yrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 simp1 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) )
2 zaddcl ⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℤ )
3 2 3adant1 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℤ )
4 rmxyval ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) ) = ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) )
5 1 3 4 syl2anc ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) ) = ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) )
6 eluzelz ⊢ ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 𝐴 ∈ ℤ )
7 6 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝐴 ∈ ℤ )
8 7 zcnd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝐴 ∈ ℂ )
9 zq ⊢ ( 𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ )
10 qsqcl ⊢ ( 𝐴 ∈ ℚ → ( 𝐴 ↑ 2 ) ∈ ℚ )
11 7 9 10 3syl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 ↑ 2 ) ∈ ℚ )
12 zssq ⊢ ℤ ⊆ ℚ
13 1z ⊢ 1 ∈ ℤ
14 12 13 sselii ⊢ 1 ∈ ℚ
15 14 a1i ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 1 ∈ ℚ )
16 qsubcl ⊢ ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ ) → ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ∈ ℚ )
17 11 15 16 syl2anc ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ∈ ℚ )
18 qcn ⊢ ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ∈ ℚ → ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ∈ ℂ )
19 17 18 syl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ∈ ℂ )
20 19 sqrtcld ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ∈ ℂ )
21 8 20 addcld ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ∈ ℂ )
22 rmbaserp ⊢ ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ∈ ℝ+ )
23 22 rpne0d ⊢ ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ≠ 0 )
24 23 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ≠ 0 )
25 simp2 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝑀 ∈ ℤ )
26 simp3 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝑁 ∈ ℤ )
27 expaddz ⊢ ( ( ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑀 ) · ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑁 ) ) )
28 21 24 25 26 27 syl22anc ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑀 ) · ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑁 ) ) )
29 frmx ⊢ Xrm : ( ( ℤ≥ ‘ 2 ) × ℤ ) ⟶ ℕ0
30 29 a1i ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → Xrm : ( ( ℤ≥ ‘ 2 ) × ℤ ) ⟶ ℕ0 )
31 30 1 25 fovcdmd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) ∈ ℕ0 )
32 31 nn0cnd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) ∈ ℂ )
33 frmy ⊢ Yrm : ( ( ℤ≥ ‘ 2 ) × ℤ ) ⟶ ℤ
34 33 a1i ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → Yrm : ( ( ℤ≥ ‘ 2 ) × ℤ ) ⟶ ℤ )
35 34 1 25 fovcdmd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ∈ ℤ )
36 35 zcnd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ∈ ℂ )
37 20 36 mulcld ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ∈ ℂ )
38 30 1 26 fovcdmd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ∈ ℕ0 )
39 38 nn0cnd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ∈ ℂ )
40 34 1 26 fovcdmd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ∈ ℤ )
41 40 zcnd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ∈ ℂ )
42 20 41 mulcld ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ∈ ℂ )
43 32 37 39 42 muladdd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) · ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) · ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) ) + ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) ) ) )
44 rmxyval ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) = ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑀 ) )
45 1 25 44 syl2anc ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) = ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑀 ) )
46 rmxyval ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) = ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑁 ) )
47 1 26 46 syl2anc ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) = ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑁 ) )
48 45 47 oveq12d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) · ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑀 ) · ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑁 ) ) )
49 43 48 eqtr3d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) · ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) ) + ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑀 ) · ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑁 ) ) )
50 20 41 20 36 mul4d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) · ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) = ( ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) )
51 19 msqsqrtd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) = ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) )
52 41 36 mulcomd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) = ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) )
53 51 52 oveq12d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) )
54 50 53 eqtrd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) · ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) )
55 54 oveq2d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) · ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) )
56 32 20 41 mul12d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) = ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) )
57 39 20 36 mul12d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) = ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) )
58 56 57 oveq12d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) ) = ( ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) ) )
59 32 41 mulcld ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ∈ ℂ )
60 39 36 mulcld ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ∈ ℂ )
61 20 59 60 adddid ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) ) = ( ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) ) )
62 59 60 addcomd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) = ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) )
63 39 36 mulcomd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) = ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) )
64 63 oveq1d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) = ( ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) )
65 62 64 eqtrd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) = ( ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) )
66 65 oveq2d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) ) = ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) )
67 58 61 66 3eqtr2d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) ) = ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) )
68 55 67 oveq12d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) · ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) ) + ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) ) )
69 28 49 68 3eqtr2d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) = ( ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) ) )
70 5 69 eqtrd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) ) )
71 rmspecsqrtnq ⊢ ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ∈ ( ℂ ∖ ℚ ) )
72 71 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ∈ ( ℂ ∖ ℚ ) )
73 nn0ssq ⊢ ℕ0 ⊆ ℚ
74 30 1 3 fovcdmd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∈ ℕ0 )
75 73 74 sselid ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∈ ℚ )
76 34 1 3 fovcdmd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Yrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∈ ℤ )
77 12 76 sselid ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Yrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∈ ℚ )
78 73 31 sselid ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) ∈ ℚ )
79 73 38 sselid ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ∈ ℚ )
80 qmulcl ⊢ ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) ∈ ℚ ∧ ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ∈ ℚ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) ∈ ℚ )
81 78 79 80 syl2anc ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) ∈ ℚ )
82 12 35 sselid ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ∈ ℚ )
83 12 40 sselid ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ∈ ℚ )
84 qmulcl ⊢ ( ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ∈ ℚ ∧ ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ∈ ℚ ) → ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ∈ ℚ )
85 82 83 84 syl2anc ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ∈ ℚ )
86 qmulcl ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ∈ ℚ ∧ ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ∈ ℚ ) → ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ∈ ℚ )
87 17 85 86 syl2anc ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ∈ ℚ )
88 qaddcl ⊢ ( ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) ∈ ℚ ∧ ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ∈ ℚ ) → ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) ∈ ℚ )
89 81 87 88 syl2anc ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) ∈ ℚ )
90 qmulcl ⊢ ( ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ∈ ℚ ∧ ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ∈ ℚ ) → ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) ∈ ℚ )
91 82 79 90 syl2anc ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) ∈ ℚ )
92 qmulcl ⊢ ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) ∈ ℚ ∧ ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ∈ ℚ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ∈ ℚ )
93 78 83 92 syl2anc ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ∈ ℚ )
94 qaddcl ⊢ ( ( ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) ∈ ℚ ∧ ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ∈ ℚ ) → ( ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ∈ ℚ )
95 91 93 94 syl2anc ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ∈ ℚ )
96 qirropth ⊢ ( ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ∈ ( ℂ ∖ ℚ ) ∧ ( ( 𝐴 Xrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∈ ℚ ∧ ( 𝐴 Yrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∈ ℚ ) ∧ ( ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) ∈ ℚ ∧ ( ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ∈ ℚ ) ) → ( ( ( 𝐴 Xrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) ) ↔ ( ( 𝐴 Xrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) ∧ ( 𝐴 Yrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) ) )
97 72 75 77 89 95 96 syl122anc ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 Xrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) ) ↔ ( ( 𝐴 Xrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) ∧ ( 𝐴 Yrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) ) )
98 70 97 mpbid ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) ∧ ( 𝐴 Yrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) )