Theorem rmxyneg

Description: Negation law for X and Y sequences. JonesMatijasevic is inconsistent on whether the X and Y sequences have domain NN0 or ZZ ; we use ZZ consistently to avoid the need for a separate subtraction law. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014)

	Ref	Expression
Assertion	rmxyneg	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm - 𝑁 ) = ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ∧ ( 𝐴 Yrm - 𝑁 ) = - ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znegcl	⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → - 𝑁 ∈ ℤ )
2		rmxyval	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ - 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm - 𝑁 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm - 𝑁 ) ) ) = ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ - 𝑁 ) )
3	1 2	sylan2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm - 𝑁 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm - 𝑁 ) ) ) = ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ - 𝑁 ) )
4		rmxyval	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) = ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑁 ) )
5	4	oveq2d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 1 / ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) = ( 1 / ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑁 ) ) )
6		rmbaserp	⊢ ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ∈ ℝ+ )
7	6	rpcnd	⊢ ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ∈ ℂ )
8	7	adantr	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ∈ ℂ )
9	6	rpne0d	⊢ ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ≠ 0 )
10	9	adantr	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ≠ 0 )
11		simpr	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝑁 ∈ ℤ )
12	8 10 11	expclzd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑁 ) ∈ ℂ )
13	4 12	eqeltrd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ∈ ℂ )
14		frmx	⊢ Xrm : ( ( ℤ≥ ‘ 2 ) × ℤ ) ⟶ ℕ0
15	14	fovcl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ∈ ℕ0 )
16	15	nn0cnd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ∈ ℂ )
17		rmspecnonsq	⊢ ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ∈ ( ℕ ∖ ◻NN ) )
18	17	eldifad	⊢ ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ∈ ℕ )
19	18	nncnd	⊢ ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ∈ ℂ )
20	19	adantr	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ∈ ℂ )
21	20	sqrtcld	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ∈ ℂ )
22		frmy	⊢ Yrm : ( ( ℤ≥ ‘ 2 ) × ℤ ) ⟶ ℤ
23	22	fovcl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ∈ ℤ )
24	23	zcnd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ∈ ℂ )
25	24	negcld	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → - ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ∈ ℂ )
26	21 25	mulcld	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · - ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ∈ ℂ )
27	16 26	addcld	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · - ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ∈ ℂ )
28	8 10 11	expne0d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑁 ) ≠ 0 )
29	4 28	eqnetrd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ≠ 0 )
30	21 24	mulneg2d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · - ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) = - ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) )
31	30	oveq2d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · - ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) = ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) + - ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) )
32	21 24	mulcld	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ∈ ℂ )
33	16 32	negsubd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) + - ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) = ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) − ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) )
34	31 33	eqtrd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · - ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) = ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) − ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) )
35	34	oveq2d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) · ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · - ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) · ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) − ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) )
36		subsq	⊢ ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ∈ ℂ ∧ ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ↑ 2 ) − ( ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) · ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) − ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) )
37	16 32 36	syl2anc	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ↑ 2 ) − ( ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) · ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) − ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) )
38	21 24	sqmuld	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ↑ 2 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ↑ 2 ) ) )
39	20	sqsqrtd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ↑ 2 ) = ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) )
40	39	oveq1d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ↑ 2 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ↑ 2 ) ) )
41	38 40	eqtrd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ↑ 2 ) ) )
42	41	oveq2d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ↑ 2 ) − ( ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ↑ 2 ) ) ) )
43		rmxynorm	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ↑ 2 ) ) ) = 1 )
44	42 43	eqtrd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ↑ 2 ) − ( ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ↑ 2 ) ) = 1 )
45	35 37 44	3eqtr2d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) · ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · - ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) = 1 )
46	13 27 29 45	mvllmuld	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · - ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) = ( 1 / ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) )
47	8 10 11	expnegd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ - 𝑁 ) = ( 1 / ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑁 ) ) )
48	5 46 47	3eqtr4rd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ - 𝑁 ) = ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · - ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) )
49	3 48	eqtrd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm - 𝑁 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm - 𝑁 ) ) ) = ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · - ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) )
50		rmspecsqrtnq	⊢ ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ∈ ( ℂ ∖ ℚ ) )
51	50	adantr	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ∈ ( ℂ ∖ ℚ ) )
52		nn0ssq	⊢ ℕ0 ⊆ ℚ
53	14	fovcl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ - 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm - 𝑁 ) ∈ ℕ0 )
54	1 53	sylan2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm - 𝑁 ) ∈ ℕ0 )
55	52 54	sselid	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm - 𝑁 ) ∈ ℚ )
56		zssq	⊢ ℤ ⊆ ℚ
57	22	fovcl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ - 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Yrm - 𝑁 ) ∈ ℤ )
58	1 57	sylan2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Yrm - 𝑁 ) ∈ ℤ )
59	56 58	sselid	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Yrm - 𝑁 ) ∈ ℚ )
60	52 15	sselid	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ∈ ℚ )
61	56 23	sselid	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ∈ ℚ )
62		qnegcl	⊢ ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ∈ ℚ → - ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ∈ ℚ )
63	61 62	syl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → - ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ∈ ℚ )
64		qirropth	⊢ ( ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ∈ ( ℂ ∖ ℚ ) ∧ ( ( 𝐴 Xrm - 𝑁 ) ∈ ℚ ∧ ( 𝐴 Yrm - 𝑁 ) ∈ ℚ ) ∧ ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ∈ ℚ ∧ - ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ∈ ℚ ) ) → ( ( ( 𝐴 Xrm - 𝑁 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm - 𝑁 ) ) ) = ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · - ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ↔ ( ( 𝐴 Xrm - 𝑁 ) = ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ∧ ( 𝐴 Yrm - 𝑁 ) = - ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) )
65	51 55 59 60 63 64	syl122anc	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 Xrm - 𝑁 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm - 𝑁 ) ) ) = ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · - ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ↔ ( ( 𝐴 Xrm - 𝑁 ) = ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ∧ ( 𝐴 Yrm - 𝑁 ) = - ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) )
66	49 65	mpbid	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm - 𝑁 ) = ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ∧ ( 𝐴 Yrm - 𝑁 ) = - ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) )