Theorem rmyluc2

Description: Lucas sequence property of Y with better output ordering. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014)

	Ref	Expression
Assertion	rmyluc2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Yrm ( 𝑁 + 1 ) ) = ( ( ( 2 · 𝐴 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) − ( 𝐴 Yrm ( 𝑁 − 1 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rmyluc	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Yrm ( 𝑁 + 1 ) ) = ( ( 2 · ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · 𝐴 ) ) − ( 𝐴 Yrm ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
2		frmy	⊢ Yrm : ( ( ℤ≥ ‘ 2 ) × ℤ ) ⟶ ℤ
3	2	fovcl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ∈ ℤ )
4	3	zcnd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ∈ ℂ )
5		eluzelcn	⊢ ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 𝐴 ∈ ℂ )
6	5	adantr	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝐴 ∈ ℂ )
7	4 6	mulcomd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · 𝐴 ) = ( 𝐴 · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) )
8	7	oveq2d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 2 · ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · 𝐴 ) ) = ( 2 · ( 𝐴 · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) )
9		2cnd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 2 ∈ ℂ )
10	9 6 4	mulassd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 2 · 𝐴 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) = ( 2 · ( 𝐴 · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) )
11	8 10	eqtr4d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 2 · ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · 𝐴 ) ) = ( ( 2 · 𝐴 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) )
12	11	oveq1d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 2 · ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · 𝐴 ) ) − ( 𝐴 Yrm ( 𝑁 − 1 ) ) ) = ( ( ( 2 · 𝐴 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) − ( 𝐴 Yrm ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
13	1 12	eqtrd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Yrm ( 𝑁 + 1 ) ) = ( ( ( 2 · 𝐴 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) − ( 𝐴 Yrm ( 𝑁 − 1 ) ) ) )