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Theorem rngmneg1

Description: Negation of a product in a non-unital ring ( mulneg1 analog). In contrast to ringmneg1 , the proof does not (and cannot) make use of the existence of a ring unity. (Contributed by AV, 17-Feb-2025)

Ref Expression
Hypotheses rngneglmul.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
rngneglmul.t ⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
rngneglmul.n ⊢ 𝑁 = ( invg ‘ 𝑅 )
rngneglmul.r ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Rng )
rngneglmul.x ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵 )
rngneglmul.y ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵 )
Assertion rngmneg1 ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) · 𝑌 ) = ( 𝑁 ‘ ( 𝑋 · 𝑌 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 rngneglmul.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
2 rngneglmul.t ⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
3 rngneglmul.n ⊢ 𝑁 = ( invg ‘ 𝑅 )
4 rngneglmul.r ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Rng )
5 rngneglmul.x ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵 )
6 rngneglmul.y ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵 )
7 eqid ⊢ ( +g ‘ 𝑅 ) = ( +g ‘ 𝑅 )
8 eqid ⊢ ( 0g ‘ 𝑅 ) = ( 0g ‘ 𝑅 )
9 rnggrp ⊢ ( 𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp )
10 4 9 syl ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Grp )
11 1 7 8 3 10 5 grprinvd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
12 11 oveq1d ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) · 𝑌 ) = ( ( 0g ‘ 𝑅 ) · 𝑌 ) )
13 1 2 8 rnglz ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( 0g ‘ 𝑅 ) · 𝑌 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
14 4 6 13 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → ( ( 0g ‘ 𝑅 ) · 𝑌 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
15 12 14 eqtrd ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) · 𝑌 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
16 1 2 rngcl ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 · 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
17 4 5 6 16 syl3anc ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 · 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
18 1 3 10 5 grpinvcld ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝐵 )
19 1 2 rngcl ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) · 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
20 4 18 6 19 syl3anc ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) · 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
21 1 7 8 3 grpinvid1 ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Grp ∧ ( 𝑋 · 𝑌 ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) · 𝑌 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑋 · 𝑌 ) ) = ( ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) · 𝑌 ) ↔ ( ( 𝑋 · 𝑌 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) · 𝑌 ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
22 10 17 20 21 syl3anc ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑋 · 𝑌 ) ) = ( ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) · 𝑌 ) ↔ ( ( 𝑋 · 𝑌 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) · 𝑌 ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
23 1 7 2 rngdir ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) · 𝑌 ) = ( ( 𝑋 · 𝑌 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) · 𝑌 ) ) )
24 23 eqcomd ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 · 𝑌 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) · 𝑌 ) ) = ( ( 𝑋 ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) · 𝑌 ) )
25 4 5 18 6 24 syl13anc ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 · 𝑌 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) · 𝑌 ) ) = ( ( 𝑋 ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) · 𝑌 ) )
26 25 eqeq1d ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑋 · 𝑌 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) · 𝑌 ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ↔ ( ( 𝑋 ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) · 𝑌 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
27 22 26 bitrd ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑋 · 𝑌 ) ) = ( ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) · 𝑌 ) ↔ ( ( 𝑋 ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) · 𝑌 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
28 15 27 mpbird ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ ( 𝑋 · 𝑌 ) ) = ( ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) · 𝑌 ) )
29 28 eqcomd ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) · 𝑌 ) = ( 𝑁 ‘ ( 𝑋 · 𝑌 ) ) )