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Theorem rrx2vlinest

Description: The vertical line passing through the two different points X and Y in a real Euclidean space of dimension 2 in "standard form". (Contributed by AV, 2-Feb-2023)

Ref Expression
Hypotheses rrx2line.i ⊢ 𝐼 = { 1 , 2 }
rrx2line.e ⊢ 𝐸 = ( ℝ^ ‘ 𝐼 )
rrx2line.b ⊢ 𝑃 = ( ℝ ↑m 𝐼 )
rrx2line.l ⊢ 𝐿 = ( LineM ‘ 𝐸 )
Assertion rrx2vlinest ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) → ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) = { 𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑝 ‘ 1 ) = ( 𝑋 ‘ 1 ) } )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 rrx2line.i ⊢ 𝐼 = { 1 , 2 }
2 rrx2line.e ⊢ 𝐸 = ( ℝ^ ‘ 𝐼 )
3 rrx2line.b ⊢ 𝑃 = ( ℝ ↑m 𝐼 )
4 rrx2line.l ⊢ 𝐿 = ( LineM ‘ 𝐸 )
5 fveq1 ⊢ ( 𝑋 = 𝑌 → ( 𝑋 ‘ 2 ) = ( 𝑌 ‘ 2 ) )
6 5 necon3i ⊢ ( ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) → 𝑋 ≠ 𝑌 )
7 6 adantl ⊢ ( ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) → 𝑋 ≠ 𝑌 )
8 1 2 3 4 rrx2line ⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) → ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) = { 𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( 𝑝 ‘ 1 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝑋 ‘ 1 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑌 ‘ 1 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ‘ 2 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝑋 ‘ 2 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ) } )
9 7 8 syl3an3 ⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) → ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) = { 𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( 𝑝 ‘ 1 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝑋 ‘ 1 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑌 ‘ 1 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ‘ 2 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝑋 ‘ 2 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ) } )
10 oveq2 ⊢ ( ( 𝑌 ‘ 1 ) = ( 𝑋 ‘ 1 ) → ( 𝑡 · ( 𝑌 ‘ 1 ) ) = ( 𝑡 · ( 𝑋 ‘ 1 ) ) )
11 10 oveq2d ⊢ ( ( 𝑌 ‘ 1 ) = ( 𝑋 ‘ 1 ) → ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝑋 ‘ 1 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑌 ‘ 1 ) ) ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝑋 ‘ 1 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑋 ‘ 1 ) ) ) )
12 11 eqcoms ⊢ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) → ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝑋 ‘ 1 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑌 ‘ 1 ) ) ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝑋 ‘ 1 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑋 ‘ 1 ) ) ) )
13 12 adantr ⊢ ( ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) → ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝑋 ‘ 1 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑌 ‘ 1 ) ) ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝑋 ‘ 1 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑋 ‘ 1 ) ) ) )
14 13 3ad2ant3 ⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) → ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝑋 ‘ 1 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑌 ‘ 1 ) ) ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝑋 ‘ 1 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑋 ‘ 1 ) ) ) )
15 14 adantr ⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝑋 ‘ 1 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑌 ‘ 1 ) ) ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝑋 ‘ 1 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑋 ‘ 1 ) ) ) )
16 15 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝑋 ‘ 1 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑌 ‘ 1 ) ) ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝑋 ‘ 1 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑋 ‘ 1 ) ) ) )
17 1 3 rrx2pxel ⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑃 → ( 𝑋 ‘ 1 ) ∈ ℝ )
18 17 recnd ⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑃 → ( 𝑋 ‘ 1 ) ∈ ℂ )
19 18 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) → ( 𝑋 ‘ 1 ) ∈ ℂ )
20 19 adantr ⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( 𝑋 ‘ 1 ) ∈ ℂ )
21 20 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( 𝑋 ‘ 1 ) ∈ ℂ )
22 recn ⊢ ( 𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℂ )
23 22 adantl ⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → 𝑡 ∈ ℂ )
24 21 23 affineid ⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝑋 ‘ 1 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑋 ‘ 1 ) ) ) = ( 𝑋 ‘ 1 ) )
25 16 24 eqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝑋 ‘ 1 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑌 ‘ 1 ) ) ) = ( 𝑋 ‘ 1 ) )
26 25 eqeq2d ⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑝 ‘ 1 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝑋 ‘ 1 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑌 ‘ 1 ) ) ) ↔ ( 𝑝 ‘ 1 ) = ( 𝑋 ‘ 1 ) ) )
27 26 anbi1d ⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑝 ‘ 1 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝑋 ‘ 1 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑌 ‘ 1 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ‘ 2 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝑋 ‘ 2 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑝 ‘ 1 ) = ( 𝑋 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 2 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝑋 ‘ 2 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ) ) )
28 27 rexbidva ⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( 𝑝 ‘ 1 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝑋 ‘ 1 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑌 ‘ 1 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ‘ 2 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝑋 ‘ 2 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( 𝑝 ‘ 1 ) = ( 𝑋 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 2 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝑋 ‘ 2 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ) ) )
29 simpl ⊢ ( ( ( 𝑝 ‘ 1 ) = ( 𝑋 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 2 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝑋 ‘ 2 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ) → ( 𝑝 ‘ 1 ) = ( 𝑋 ‘ 1 ) )
30 29 a1i ⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑝 ‘ 1 ) = ( 𝑋 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 2 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝑋 ‘ 2 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ) → ( 𝑝 ‘ 1 ) = ( 𝑋 ‘ 1 ) ) )
31 30 rexlimdva ⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( 𝑝 ‘ 1 ) = ( 𝑋 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 2 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝑋 ‘ 2 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ) → ( 𝑝 ‘ 1 ) = ( 𝑋 ‘ 1 ) ) )
32 1 3 rrx2pyel ⊢ ( 𝑝 ∈ 𝑃 → ( 𝑝 ‘ 2 ) ∈ ℝ )
33 32 adantl ⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( 𝑝 ‘ 2 ) ∈ ℝ )
34 1 3 rrx2pyel ⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑃 → ( 𝑋 ‘ 2 ) ∈ ℝ )
35 34 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) → ( 𝑋 ‘ 2 ) ∈ ℝ )
36 35 adantr ⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( 𝑋 ‘ 2 ) ∈ ℝ )
37 33 36 resubcld ⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝑝 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ∈ ℝ )
38 1 3 rrx2pyel ⊢ ( 𝑌 ∈ 𝑃 → ( 𝑌 ‘ 2 ) ∈ ℝ )
39 38 3ad2ant2 ⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) → ( 𝑌 ‘ 2 ) ∈ ℝ )
40 39 35 resubcld ⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) → ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ∈ ℝ )
41 40 adantr ⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ∈ ℝ )
42 38 recnd ⊢ ( 𝑌 ∈ 𝑃 → ( 𝑌 ‘ 2 ) ∈ ℂ )
43 42 3ad2ant2 ⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) → ( 𝑌 ‘ 2 ) ∈ ℂ )
44 34 recnd ⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑃 → ( 𝑋 ‘ 2 ) ∈ ℂ )
45 44 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) → ( 𝑋 ‘ 2 ) ∈ ℂ )
46 simpr ⊢ ( ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) → ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) )
47 46 necomd ⊢ ( ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) → ( 𝑌 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑋 ‘ 2 ) )
48 47 3ad2ant3 ⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) → ( 𝑌 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑋 ‘ 2 ) )
49 43 45 48 subne0d ⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) → ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ≠ 0 )
50 49 adantr ⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ≠ 0 )
51 37 41 50 redivcld ⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( ( ( 𝑝 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) / ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) ∈ ℝ )
52 51 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 1 ) = ( 𝑋 ‘ 1 ) ) → ( ( ( 𝑝 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) / ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) ∈ ℝ )
53 oveq2 ⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑝 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) / ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) → ( 1 − 𝑡 ) = ( 1 − ( ( ( 𝑝 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) / ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) ) )
54 53 oveq1d ⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑝 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) / ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) → ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝑋 ‘ 2 ) ) = ( ( 1 − ( ( ( 𝑝 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) / ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) ) · ( 𝑋 ‘ 2 ) ) )
55 oveq1 ⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑝 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) / ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) → ( 𝑡 · ( 𝑌 ‘ 2 ) ) = ( ( ( ( 𝑝 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) / ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) · ( 𝑌 ‘ 2 ) ) )
56 54 55 oveq12d ⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑝 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) / ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) → ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝑋 ‘ 2 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) = ( ( ( 1 − ( ( ( 𝑝 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) / ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) ) · ( 𝑋 ‘ 2 ) ) + ( ( ( ( 𝑝 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) / ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) · ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) )
57 56 eqeq2d ⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑝 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) / ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) → ( ( 𝑝 ‘ 2 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝑋 ‘ 2 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ↔ ( 𝑝 ‘ 2 ) = ( ( ( 1 − ( ( ( 𝑝 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) / ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) ) · ( 𝑋 ‘ 2 ) ) + ( ( ( ( 𝑝 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) / ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) · ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ) )
58 57 anbi2d ⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑝 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) / ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) → ( ( ( 𝑝 ‘ 1 ) = ( 𝑋 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 2 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝑋 ‘ 2 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑝 ‘ 1 ) = ( 𝑋 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 2 ) = ( ( ( 1 − ( ( ( 𝑝 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) / ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) ) · ( 𝑋 ‘ 2 ) ) + ( ( ( ( 𝑝 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) / ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) · ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ) ) )
59 58 adantl ⊢ ( ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 1 ) = ( 𝑋 ‘ 1 ) ) ∧ 𝑡 = ( ( ( 𝑝 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) / ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑝 ‘ 1 ) = ( 𝑋 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 2 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝑋 ‘ 2 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑝 ‘ 1 ) = ( 𝑋 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 2 ) = ( ( ( 1 − ( ( ( 𝑝 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) / ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) ) · ( 𝑋 ‘ 2 ) ) + ( ( ( ( 𝑝 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) / ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) · ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ) ) )
60 simpr ⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 1 ) = ( 𝑋 ‘ 1 ) ) → ( 𝑝 ‘ 1 ) = ( 𝑋 ‘ 1 ) )
61 44 mullidd ⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑃 → ( 1 · ( 𝑋 ‘ 2 ) ) = ( 𝑋 ‘ 2 ) )
62 61 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) → ( 1 · ( 𝑋 ‘ 2 ) ) = ( 𝑋 ‘ 2 ) )
63 62 adantr ⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( 1 · ( 𝑋 ‘ 2 ) ) = ( 𝑋 ‘ 2 ) )
64 37 recnd ⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝑝 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ∈ ℂ )
65 42 adantl ⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → ( 𝑌 ‘ 2 ) ∈ ℂ )
66 44 adantr ⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → ( 𝑋 ‘ 2 ) ∈ ℂ )
67 65 66 subcld ⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ∈ ℂ )
68 67 3adant3 ⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) → ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ∈ ℂ )
69 68 adantr ⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ∈ ℂ )
70 64 69 50 divcan1d ⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( ( ( ( 𝑝 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) / ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) · ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) = ( ( 𝑝 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) )
71 63 70 oveq12d ⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( ( 1 · ( 𝑋 ‘ 2 ) ) + ( ( ( ( 𝑝 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) / ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) · ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) ) = ( ( 𝑋 ‘ 2 ) + ( ( 𝑝 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) )
72 45 adantr ⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( 𝑋 ‘ 2 ) ∈ ℂ )
73 32 recnd ⊢ ( 𝑝 ∈ 𝑃 → ( 𝑝 ‘ 2 ) ∈ ℂ )
74 73 adantl ⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( 𝑝 ‘ 2 ) ∈ ℂ )
75 72 74 pncan3d ⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝑋 ‘ 2 ) + ( ( 𝑝 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) = ( 𝑝 ‘ 2 ) )
76 71 75 eqtr2d ⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( 𝑝 ‘ 2 ) = ( ( 1 · ( 𝑋 ‘ 2 ) ) + ( ( ( ( 𝑝 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) / ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) · ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) ) )
77 76 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 1 ) = ( 𝑋 ‘ 1 ) ) → ( 𝑝 ‘ 2 ) = ( ( 1 · ( 𝑋 ‘ 2 ) ) + ( ( ( ( 𝑝 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) / ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) · ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) ) )
78 1cnd ⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → 1 ∈ ℂ )
79 51 recnd ⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( ( ( 𝑝 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) / ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) ∈ ℂ )
80 43 adantr ⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( 𝑌 ‘ 2 ) ∈ ℂ )
81 78 79 72 80 submuladdmuld ⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( ( ( 1 − ( ( ( 𝑝 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) / ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) ) · ( 𝑋 ‘ 2 ) ) + ( ( ( ( 𝑝 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) / ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) · ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) = ( ( 1 · ( 𝑋 ‘ 2 ) ) + ( ( ( ( 𝑝 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) / ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) · ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) ) )
82 81 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 1 ) = ( 𝑋 ‘ 1 ) ) → ( ( ( 1 − ( ( ( 𝑝 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) / ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) ) · ( 𝑋 ‘ 2 ) ) + ( ( ( ( 𝑝 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) / ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) · ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) = ( ( 1 · ( 𝑋 ‘ 2 ) ) + ( ( ( ( 𝑝 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) / ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) · ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) ) )
83 77 82 eqtr4d ⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 1 ) = ( 𝑋 ‘ 1 ) ) → ( 𝑝 ‘ 2 ) = ( ( ( 1 − ( ( ( 𝑝 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) / ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) ) · ( 𝑋 ‘ 2 ) ) + ( ( ( ( 𝑝 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) / ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) · ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) )
84 60 83 jca ⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 1 ) = ( 𝑋 ‘ 1 ) ) → ( ( 𝑝 ‘ 1 ) = ( 𝑋 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 2 ) = ( ( ( 1 − ( ( ( 𝑝 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) / ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) ) · ( 𝑋 ‘ 2 ) ) + ( ( ( ( 𝑝 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) / ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) · ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ) )
85 52 59 84 rspcedvd ⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 1 ) = ( 𝑋 ‘ 1 ) ) → ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( 𝑝 ‘ 1 ) = ( 𝑋 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 2 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝑋 ‘ 2 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ) )
86 85 ex ⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝑝 ‘ 1 ) = ( 𝑋 ‘ 1 ) → ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( 𝑝 ‘ 1 ) = ( 𝑋 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 2 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝑋 ‘ 2 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ) ) )
87 31 86 impbid ⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( 𝑝 ‘ 1 ) = ( 𝑋 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 2 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝑋 ‘ 2 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ) ↔ ( 𝑝 ‘ 1 ) = ( 𝑋 ‘ 1 ) ) )
88 28 87 bitrd ⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( 𝑝 ‘ 1 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝑋 ‘ 1 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑌 ‘ 1 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ‘ 2 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝑋 ‘ 2 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ) ↔ ( 𝑝 ‘ 1 ) = ( 𝑋 ‘ 1 ) ) )
89 88 rabbidva ⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) → { 𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( 𝑝 ‘ 1 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝑋 ‘ 1 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑌 ‘ 1 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ‘ 2 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝑋 ‘ 2 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ) } = { 𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑝 ‘ 1 ) = ( 𝑋 ‘ 1 ) } )
90 9 89 eqtrd ⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝑋 ‘ 1 ) = ( 𝑌 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑋 ‘ 2 ) ≠ ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) → ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) = { 𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑝 ‘ 1 ) = ( 𝑋 ‘ 1 ) } )