Theorem s2eqd

Description: Equality theorem for a doubleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2016)

	Ref	Expression
Hypotheses	s2eqd.1	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 = 𝑁 )
	s2eqd.2	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 = 𝑂 )
Assertion	s2eqd	⊢ ( 𝜑 → ⟨“ 𝐴 𝐵 ”⟩ = ⟨“ 𝑁 𝑂 ”⟩ )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s2eqd.1	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 = 𝑁 )
2		s2eqd.2	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 = 𝑂 )
3	1	s1eqd	⊢ ( 𝜑 → ⟨“ 𝐴 ”⟩ = ⟨“ 𝑁 ”⟩ )
4	2	s1eqd	⊢ ( 𝜑 → ⟨“ 𝐵 ”⟩ = ⟨“ 𝑂 ”⟩ )
5	3 4	oveq12d	⊢ ( 𝜑 → ( ⟨“ 𝐴 ”⟩ ++ ⟨“ 𝐵 ”⟩ ) = ( ⟨“ 𝑁 ”⟩ ++ ⟨“ 𝑂 ”⟩ ) )
6		df-s2	⊢ ⟨“ 𝐴 𝐵 ”⟩ = ( ⟨“ 𝐴 ”⟩ ++ ⟨“ 𝐵 ”⟩ )
7		df-s2	⊢ ⟨“ 𝑁 𝑂 ”⟩ = ( ⟨“ 𝑁 ”⟩ ++ ⟨“ 𝑂 ”⟩ )
8	5 6 7	3eqtr4g	⊢ ( 𝜑 → ⟨“ 𝐴 𝐵 ”⟩ = ⟨“ 𝑁 𝑂 ”⟩ )