Theorem sbcbr

Description: Move substitution in and out of a binary relation. (Contributed by NM, 23-Aug-2018)

	Ref	Expression
Assertion	sbcbr	⊢ ( [ 𝐴 / 𝑥 ] 𝐵 𝑅 𝐶 ↔ 𝐵 ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝑅 𝐶 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbcbr123	⊢ ( [ 𝐴 / 𝑥 ] 𝐵 𝑅 𝐶 ↔ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝑅 ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐶 )
2		csbconstg	⊢ ( 𝐴 ∈ V → ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 = 𝐵 )
3		csbconstg	⊢ ( 𝐴 ∈ V → ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐶 = 𝐶 )
4	2 3	breq12d	⊢ ( 𝐴 ∈ V → ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝑅 ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐶 ↔ 𝐵 ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝑅 𝐶 ) )
5		br0	⊢ ¬ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ∅ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐶
6		csbprc	⊢ ( ¬ 𝐴 ∈ V → ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝑅 = ∅ )
7	6	breqd	⊢ ( ¬ 𝐴 ∈ V → ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝑅 ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐶 ↔ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ∅ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐶 ) )
8	5 7	mtbiri	⊢ ( ¬ 𝐴 ∈ V → ¬ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝑅 ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐶 )
9		br0	⊢ ¬ 𝐵 ∅ 𝐶
10	6	breqd	⊢ ( ¬ 𝐴 ∈ V → ( 𝐵 ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝑅 𝐶 ↔ 𝐵 ∅ 𝐶 ) )
11	9 10	mtbiri	⊢ ( ¬ 𝐴 ∈ V → ¬ 𝐵 ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝑅 𝐶 )
12	8 11	2falsed	⊢ ( ¬ 𝐴 ∈ V → ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝑅 ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐶 ↔ 𝐵 ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝑅 𝐶 ) )
13	4 12	pm2.61i	⊢ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝑅 ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐶 ↔ 𝐵 ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝑅 𝐶 )
14	1 13	bitri	⊢ ( [ 𝐴 / 𝑥 ] 𝐵 𝑅 𝐶 ↔ 𝐵 ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝑅 𝐶 )