Theorem selberg2

Description: Selberg's symmetry formula, using the second Chebyshev function. Equation 10.4.14 of Shapiro, p. 420. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2016)

	Ref	Expression
Assertion	selberg2	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( ( ( ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑥 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∈ 𝑂(1)

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex	⊢ ℝ ∈ V
2		rpssre	⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
3	1 2	ssexi	⊢ ℝ+ ∈ V
4	3	a1i	⊢ ( ⊤ → ℝ+ ∈ V )
5		ovexd	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ( log ‘ 𝑛 ) + ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑥 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ V )
6		ovexd	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) − ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ∈ V )
7		eqidd	⊢ ( ⊤ → ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ( log ‘ 𝑛 ) + ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑥 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ( log ‘ 𝑛 ) + ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑥 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
8		eqidd	⊢ ( ⊤ → ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) − ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) − ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) )
9	4 5 6 7 8	offval2	⊢ ( ⊤ → ( ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ( log ‘ 𝑛 ) + ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑥 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) − ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ( log ‘ 𝑛 ) + ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑥 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) − ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) − ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) ) )
10	9	mptru	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ( log ‘ 𝑛 ) + ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑥 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) − ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ( log ‘ 𝑛 ) + ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑥 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) − ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) − ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) )
11		fzfid	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ∈ Fin )
12		elfznn	⊢ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) → 𝑛 ∈ ℕ )
13	12	adantl	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑛 ∈ ℕ )
14		vmacl	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( Λ ‘ 𝑛 ) ∈ ℝ )
15	13 14	syl	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( Λ ‘ 𝑛 ) ∈ ℝ )
16	15	recnd	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( Λ ‘ 𝑛 ) ∈ ℂ )
17	13	nnrpd	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑛 ∈ ℝ+ )
18		relogcl	⊢ ( 𝑛 ∈ ℝ+ → ( log ‘ 𝑛 ) ∈ ℝ )
19	17 18	syl	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( log ‘ 𝑛 ) ∈ ℝ )
20	19	recnd	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( log ‘ 𝑛 ) ∈ ℂ )
21		rpre	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ )
22		nndivre	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑥 / 𝑛 ) ∈ ℝ )
23	21 12 22	syl2an	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 𝑥 / 𝑛 ) ∈ ℝ )
24		chpcl	⊢ ( ( 𝑥 / 𝑛 ) ∈ ℝ → ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ∈ ℝ )
25	23 24	syl	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ∈ ℝ )
26	25	recnd	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ∈ ℂ )
27	20 26	addcld	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( log ‘ 𝑛 ) + ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ∈ ℂ )
28	16 27	mulcld	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ( log ‘ 𝑛 ) + ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) ∈ ℂ )
29	11 28	fsumcl	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ( log ‘ 𝑛 ) + ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) ∈ ℂ )
30		rpcn	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℂ )
31		rpne0	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ≠ 0 )
32	29 30 31	divcld	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ( log ‘ 𝑛 ) + ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑥 ) ∈ ℂ )
33		2cn	⊢ 2 ∈ ℂ
34		relogcl	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → ( log ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ )
35	34	recnd	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → ( log ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
36		mulcl	⊢ ( ( 2 ∈ ℂ ∧ ( log ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) → ( 2 · ( log ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
37	33 35 36	sylancr	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → ( 2 · ( log ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
38	16 20	mulcld	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ∈ ℂ )
39	11 38	fsumcl	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ∈ ℂ )
40		chpcl	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( ψ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ )
41	21 40	syl	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → ( ψ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ )
42	41	recnd	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → ( ψ ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
43	42 35	mulcld	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
44	39 43	subcld	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) − ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
45	44 30 31	divcld	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) − ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ∈ ℂ )
46	32 37 45	sub32d	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → ( ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ( log ‘ 𝑛 ) + ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑥 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) − ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) − ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) = ( ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ( log ‘ 𝑛 ) + ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑥 ) − ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) − ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) )
47		rpcnne0	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0 ) )
48		divsubdir	⊢ ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ( log ‘ 𝑛 ) + ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) ∈ ℂ ∧ ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) − ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ) → ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ( log ‘ 𝑛 ) + ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) − ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) / 𝑥 ) = ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ( log ‘ 𝑛 ) + ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑥 ) − ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) − ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) )
49	29 44 47 48	syl3anc	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ( log ‘ 𝑛 ) + ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) − ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) / 𝑥 ) = ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ( log ‘ 𝑛 ) + ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑥 ) − ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) − ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) )
50	16 20 26	adddid	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ( log ‘ 𝑛 ) + ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) = ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) + ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) )
51	50	sumeq2dv	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ( log ‘ 𝑛 ) + ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) = Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) + ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) )
52	16 26	mulcld	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ∈ ℂ )
53	11 38 52	fsumadd	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) + ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) = ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) )
54	51 53	eqtrd	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ( log ‘ 𝑛 ) + ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) = ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) )
55	54	oveq1d	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ( log ‘ 𝑛 ) + ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) − ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) − ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
56	11 52	fsumcl	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ∈ ℂ )
57	39 56 43	pnncand	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) − ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) + ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) )
58	56 43	addcomd	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) + ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) )
59	55 57 58	3eqtrd	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ( log ‘ 𝑛 ) + ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) − ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) )
60	59	oveq1d	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ( log ‘ 𝑛 ) + ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) − ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) / 𝑥 ) = ( ( ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑥 ) )
61	49 60	eqtr3d	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ( log ‘ 𝑛 ) + ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑥 ) − ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) − ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) = ( ( ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑥 ) )
62	61	oveq1d	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → ( ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ( log ‘ 𝑛 ) + ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑥 ) − ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) − ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑥 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) )
63	46 62	eqtrd	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → ( ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ( log ‘ 𝑛 ) + ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑥 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) − ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) − ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) = ( ( ( ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑥 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) )
64	63	mpteq2ia	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ( log ‘ 𝑛 ) + ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑥 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) − ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) − ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( ( ( ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑥 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) )
65	10 64	eqtri	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ( log ‘ 𝑛 ) + ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑥 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) − ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( ( ( ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑥 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) )
66		selberg	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ( log ‘ 𝑛 ) + ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑥 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∈ 𝑂(1)
67		selberg2lem	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) − ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) ∈ 𝑂(1)
68		o1sub	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ( log ‘ 𝑛 ) + ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑥 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∈ 𝑂(1) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) − ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) ∈ 𝑂(1) ) → ( ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ( log ‘ 𝑛 ) + ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑥 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) − ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) ) ∈ 𝑂(1) )
69	66 67 68	mp2an	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ( log ‘ 𝑛 ) + ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑥 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) − ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) ) ∈ 𝑂(1)
70	65 69	eqeltrri	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( ( ( ( ( ψ ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑥 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∈ 𝑂(1)