Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
funres |
⊢ ( Fun 𝐺 → Fun ( 𝐺 ↾ ( V ∖ dom { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) ) ) |
2 |
1
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ) → Fun ( 𝐺 ↾ ( V ∖ dom { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) ) ) |
3 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊 ) ) → Fun ( 𝐺 ↾ ( V ∖ dom { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) ) ) |
4 |
|
funsng |
⊢ ( ( 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊 ) → Fun { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) |
5 |
4
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊 ) ) → Fun { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) |
6 |
|
dmres |
⊢ dom ( 𝐺 ↾ ( V ∖ dom { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) ) = ( ( V ∖ dom { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) ∩ dom 𝐺 ) |
7 |
6
|
ineq1i |
⊢ ( dom ( 𝐺 ↾ ( V ∖ dom { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) ) ∩ dom { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) = ( ( ( V ∖ dom { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) ∩ dom 𝐺 ) ∩ dom { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) |
8 |
|
in32 |
⊢ ( ( ( V ∖ dom { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) ∩ dom 𝐺 ) ∩ dom { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) = ( ( ( V ∖ dom { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) ∩ dom { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) ∩ dom 𝐺 ) |
9 |
|
incom |
⊢ ( ( V ∖ dom { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) ∩ dom { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) = ( dom { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ∩ ( V ∖ dom { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) ) |
10 |
|
disjdif |
⊢ ( dom { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ∩ ( V ∖ dom { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) ) = ∅ |
11 |
9 10
|
eqtri |
⊢ ( ( V ∖ dom { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) ∩ dom { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) = ∅ |
12 |
11
|
ineq1i |
⊢ ( ( ( V ∖ dom { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) ∩ dom { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) ∩ dom 𝐺 ) = ( ∅ ∩ dom 𝐺 ) |
13 |
|
0in |
⊢ ( ∅ ∩ dom 𝐺 ) = ∅ |
14 |
8 12 13
|
3eqtri |
⊢ ( ( ( V ∖ dom { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) ∩ dom 𝐺 ) ∩ dom { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) = ∅ |
15 |
7 14
|
eqtri |
⊢ ( dom ( 𝐺 ↾ ( V ∖ dom { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) ) ∩ dom { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) = ∅ |
16 |
15
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊 ) ) → ( dom ( 𝐺 ↾ ( V ∖ dom { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) ) ∩ dom { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) = ∅ ) |
17 |
|
funun |
⊢ ( ( ( Fun ( 𝐺 ↾ ( V ∖ dom { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) ) ∧ Fun { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) ∧ ( dom ( 𝐺 ↾ ( V ∖ dom { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) ) ∩ dom { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) = ∅ ) → Fun ( ( 𝐺 ↾ ( V ∖ dom { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) ) ∪ { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) ) |
18 |
3 5 16 17
|
syl21anc |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊 ) ) → Fun ( ( 𝐺 ↾ ( V ∖ dom { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) ) ∪ { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) ) |
19 |
|
opex |
⊢ 〈 𝐼 , 𝐸 〉 ∈ V |
20 |
19
|
a1i |
⊢ ( Fun 𝐺 → 〈 𝐼 , 𝐸 〉 ∈ V ) |
21 |
|
setsvalg |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 〈 𝐼 , 𝐸 〉 ∈ V ) → ( 𝐺 sSet 〈 𝐼 , 𝐸 〉 ) = ( ( 𝐺 ↾ ( V ∖ dom { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) ) ∪ { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) ) |
22 |
20 21
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ) → ( 𝐺 sSet 〈 𝐼 , 𝐸 〉 ) = ( ( 𝐺 ↾ ( V ∖ dom { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) ) ∪ { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) ) |
23 |
22
|
funeqd |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ) → ( Fun ( 𝐺 sSet 〈 𝐼 , 𝐸 〉 ) ↔ Fun ( ( 𝐺 ↾ ( V ∖ dom { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) ) ∪ { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) ) ) |
24 |
23
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊 ) ) → ( Fun ( 𝐺 sSet 〈 𝐼 , 𝐸 〉 ) ↔ Fun ( ( 𝐺 ↾ ( V ∖ dom { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) ) ∪ { 〈 𝐼 , 𝐸 〉 } ) ) ) |
25 |
18 24
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊 ) ) → Fun ( 𝐺 sSet 〈 𝐼 , 𝐸 〉 ) ) |