Theorem sinf

Description: Domain and codomain of the sine function. (Contributed by Paul Chapman, 22-Oct-2007) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014)

	Ref	Expression
Assertion	sinf	⊢ sin : ℂ ⟶ ℂ

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sin	⊢ sin = ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ ( ( ( exp ‘ ( i · 𝑥 ) ) − ( exp ‘ ( - i · 𝑥 ) ) ) / ( 2 · i ) ) )
2		ax-icn	⊢ i ∈ ℂ
3		mulcl	⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → ( i · 𝑥 ) ∈ ℂ )
4	2 3	mpan	⊢ ( 𝑥 ∈ ℂ → ( i · 𝑥 ) ∈ ℂ )
5		efcl	⊢ ( ( i · 𝑥 ) ∈ ℂ → ( exp ‘ ( i · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
6	4 5	syl	⊢ ( 𝑥 ∈ ℂ → ( exp ‘ ( i · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
7		negicn	⊢ - i ∈ ℂ
8		mulcl	⊢ ( ( - i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → ( - i · 𝑥 ) ∈ ℂ )
9	7 8	mpan	⊢ ( 𝑥 ∈ ℂ → ( - i · 𝑥 ) ∈ ℂ )
10		efcl	⊢ ( ( - i · 𝑥 ) ∈ ℂ → ( exp ‘ ( - i · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
11	9 10	syl	⊢ ( 𝑥 ∈ ℂ → ( exp ‘ ( - i · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
12	6 11	subcld	⊢ ( 𝑥 ∈ ℂ → ( ( exp ‘ ( i · 𝑥 ) ) − ( exp ‘ ( - i · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
13		2mulicn	⊢ ( 2 · i ) ∈ ℂ
14		2muline0	⊢ ( 2 · i ) ≠ 0
15		divcl	⊢ ( ( ( ( exp ‘ ( i · 𝑥 ) ) − ( exp ‘ ( - i · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ ∧ ( 2 · i ) ∈ ℂ ∧ ( 2 · i ) ≠ 0 ) → ( ( ( exp ‘ ( i · 𝑥 ) ) − ( exp ‘ ( - i · 𝑥 ) ) ) / ( 2 · i ) ) ∈ ℂ )
16	13 14 15	mp3an23	⊢ ( ( ( exp ‘ ( i · 𝑥 ) ) − ( exp ‘ ( - i · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ → ( ( ( exp ‘ ( i · 𝑥 ) ) − ( exp ‘ ( - i · 𝑥 ) ) ) / ( 2 · i ) ) ∈ ℂ )
17	12 16	syl	⊢ ( 𝑥 ∈ ℂ → ( ( ( exp ‘ ( i · 𝑥 ) ) − ( exp ‘ ( - i · 𝑥 ) ) ) / ( 2 · i ) ) ∈ ℂ )
18	1 17	fmpti	⊢ sin : ℂ ⟶ ℂ